J' Essaie de derivé l'expression qu'on 'a donné , et j' exprime f en fonction de l'integrale. À l'aide d'une factorisation, . Ensuite j'applique l'inegalité de la moyenne et je trouve que f(0)#1.
Bonsoir
Une fonction continue telle que
vérifie nécessairement (sauf erreur de ma part bien entendu)
il doit donc y avoir une erreur d'énoncé !
Par exemple (sauf erreur ) la fonction vérifie l'équation fonctionnelle en question !
Bonjour,
De toutes façons, il manque quelque chose :
Pour quelles valeurs de x l'égalité doit être vérifiée.
Avec 1/x dans le second membre, c'est sans doute pour tout x >0.
Ce serait étonnant que l'énoncé ne le précise pas.
On peut poser le problème d'une manière un peu plus générale en cherchant toutes les fonctions continues :
(où les deux intégrales peuvent être impropres pour la borne mais sont toutes les deux convergentes)
Analyse :
Pour (solution du problème) notons et (respectivement) les deux primitives de et sur qui s'annulent en .
On a donc .
D'où en dérivant, .
Qui s'écrit aussi, .
Ou encore, .
D'où (pour des raisons de continuité ) les deux seules éventualités :
ou .
Une petite résolution de deux équations différentielles linéaires (homogènes) du premier ordre donne alors :
ou (où est une constante réelle arbitraire strictement positive).
Synyhèse :
On vérifient (assez facilement) que les fonctions :
et (où est une constante réelle arbitraire strictement positive)
sont bien solutions du problème.
Remarque :
Seules les premières sont prolongeables par continuité en en posant . sauf erreur de ma part bien entendu
ouais !! ça fait beaucoup de conditions rajoutées à l'énoncé initial ...
c'est pourquoi je n'avais pas insisté même si j'avais eu la même idée initiale que elhor_abdelali ... mais j'avoue que je ne sais pas si je serai arrivé jusqu'au bout et aussi proprement que lui !!
Merci beaucoup a tous. L'enonce ne comporte pas d'erreur mais il n'existe aucune fonction continue respectant les conditions imposes.j'en etait arrive a cette conclution en derivant la relation et en utilisant la premier formule de la moyenne.merci infiniment
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