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equation fonctionnelle

Posté par
Crei
07-07-23 à 21:54

Bonsoir besoin d'aide
x\geq 1.\ f \ est \ derivable \ et \ f'=\frac{1}{x+f^2} \ et \ f(1)=1.  Montrer que f admet une limite en + et que cette limite est inférieure à 1+/4

Posté par
phyelec78
re : equation fonctionnelle 07-07-23 à 22:55

Bonjour,

vous avez :

 f(t)=\int \dfrac{1}{x} \dfrac{dt}{1+(\dfrac{f(t)}{\sqrt x})^2} + Cste

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : equation fonctionnelle 08-07-23 à 02:55

Bonsoir

Une analyse :

Soit f:[1,+\infty[\to\mathbb R une fonction dérivable et telle que \forall x\geqslant1~,~f'(x)=\frac{1}{x+f^2(x)}.

Alors f est clairement croissante (et même strictement) sur [1,+\infty[.

Alors f ne peut pas admettre une limite finie \ell en +\infty :

car sinon on aurait 1=f(1)\leqslant f(x)\leqslant\ell pour tout réel x\geqslant1,

et donc f'(x)\geqslant\frac{1}{x+\ell^2} pour tout réel x\geqslant1,

ce qui donnerait (par intégration) f(x)-1\geqslant\ln(x+\ell^2) pour tout réel x\geqslant1.

Une synthèse :

Je conclue à une erreur d'énoncé et je propose la rectification \forall x\geqslant1~,~f'(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : equation fonctionnelle 08-07-23 à 03:19

Je viens de remarquer que le même énoncé est proposé ici Limite d'une fonction réelle

Je vais donc achever ma correction

Avec le nouveau énoncé : f:[1,+\infty[\to\mathbb R une fonction dérivable et telle que \forall x\geqslant1~,~f'(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)},

on a (compte tenu de mon post précédent) \forall x\geqslant1~,~f'(x)\leqslant\frac{1}{x^2+1}

d'où par intégration, \forall x\geqslant1~,~f(x)-1\leqslant\arctan(x)-\frac{\pi}{4}\leqslant\frac{\pi}{4}...

remarque :

\bullet Une telle fonction f (si elle existe) est au moins \mathcal C^1 et on a donc bien \int_1^xf'(t)dt=f(x)-f(1) pour tout x\geqslant1.

\bullet On peut se demander si la valeur 1+\frac{\pi}{4} est optimale

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : equation fonctionnelle 08-07-23 à 12:58

Une petite erreur s'est glissée dans mon premier message lire plutôt :

f(x)-1\geqslant\ln(x+\ell^2)-\ln(1+\ell^2)

heureusement que ça ne change rien à l'absurdité



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