Salut à tous !

Je viens vers vous en pleine révision sur les équations fonctionnelles, je suis tombé sur une vidéo, j'espère avoir le droit de le citer comme c'est sur Youtube, de "Cassou Maths Prépa" sur "Équations fonctionnelles basiques. (début sup/L1)", où il propose l'exercice suivant :

Déterminer les fonctions telles que : .

Lors de l'analyse, il propose de prendre en particulier et :




Ensuite, en particulier, lorsque


soit , soit


Jusque là, tout me convient, mais à ce moment là, dans la vidéo, il explique que ne doit pas être choisi (8min20 dans la vidéo) car "non, ça ne marche pas".

Et ensuite j'ai bien compris tout le reste, jusqu'à la conclusion finale, car il propose comme solution , et c'est tout.

Or, j'ai l'impression que la fonction nulle est aussi solution.
Pourtant, aucun commentaire sous sa vidéo n'en parle.

Suis-je passé à côté d'un élément ou y a-t-il une vraie erreur ?
Merci à vous tous, j'essaye de comprendre un raisonnement encore un peu abstrait par manque d'exercice, donc je veux saisir si j'ai bon ou pas !