Niveau Maths sup

équation nombres complexes

Posté par
manon-clement 09-07-11 à 16:45

Bonjour,

J'aimerais beaucoup que vous m'aidiez à résoudre cette équation :

z4 − 4(cosαcosβ)z3 + 2(1 + cos2α + cos2β)z2 − 4(cosαcosβ)z + 1 = 0 où α et β sont des réels donnés.
(On pourra effectuer le changement de variable Z = z + 1 et utiliser le formulaire de trigonométrie)

j'ai passé l'après midi dessus et je ne suis parvenue à rien... Merci d'avance!

Posté par re : équation nombres complexes 09-07-11 à 17:20

Bonjour,

que trouves-tu lorsque tu remplaces z par Z-1 dans ton équation ?

Posté par re : équation nombres complexes 09-07-11 à 17:29

Excuse moi il y a une erreur dans le sujet que j'ai recopié c'est Z= z+1/z...

Au final je trouve ça, et je reste coincée : Z^2 − 4(cosαcosβ)Z + 2(1 + cos2α + cos2β) = 0

Mais je pense que c'est faux... Et dans tous les cas, je ne vois pas sur quoi je peux déboucher avec ce résultat, j'ai tenté de faire un discriminant et j'ai obtenu :

D= 16 (cosαcosβ)^2 -24 donc bon... =S

Posté par re : équation nombres complexes 09-07-11 à 17:45

bonjour !

Citation :
Au final je trouve ça: Z^2 − 4(cosαcosβ)Z + 2(1 + cos2α + cos2β) = 0

Il manque juste $-2$ car si $Z=z+\frac{1}{z}$ alors $Z^2=z^2+\frac{1}{z^2}+2$ . J'espère que tu as divisé les deux membres de l'équation par $z^2$ pour pouvoir utiliser ta substitution !

Posté par re : équation nombres complexes 09-07-11 à 18:35

Merci bcp!

j'ai rectifié mon erreur, et maintenant j'obtiens : Z^2 − 4(cosαcosβ)Z + 2( cos2α + cos2β) = 0

Seulement, au discriminant je trouve :

D=16 (cosαcosβ)^2 -16cosα^2 -16cosβ^2 + 16 et là je ne sais plus quoi faire.. j'ai tenté de trouver une identité remarquable mais je n'y arrive pas et je ne vois pas quelle autre piste suivre