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Niveau Maths sup
Equation polynomiale-Complexes
Posté par miss-DDHT
Bonjour,
Je suis bloquée sur une des questions de mon DM, est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer s'il vous plait ?
Voici l'énoncé :
Soit l'équation :
(E) : z 5 −1= 0 .
1. Résoudre (E) dans ℂ en calculant les cinq racines de (E) sous forme trigonométrique.
2. On va maintenant résoudre (E) par radicaux carrés :
2.a Déterminer la fonction polynomiale Q telle que pour tout z ∈ ℂ :
z 5 −1= (z −1)Q(z )
2.b Déterminer des réels a,b,c tels que pour tout z ∗ ∈ ℂ :
Q(z)/z² = a(z+1/z)²+b(z+1/z)+c
2.c Résoudre, en exprimant les solutions par radicaux carrés, l'équation :
aZ 2 +bZ +c = 0
d'inconnue Z ∈ ℂ.
2.d Pour finir, résoudre l'équation
Q(z ) = 0
en exprimant les solutions par radicaux carrés, éventuellement superposés.
3. Des questions précédentes, déduire des expressions par radicaux de :
cos 2pi/5 ; cos 4Pi/5 ; cos pi/5 ; sin 2pi/5 ; sin 4pi/5 ; sin pi/5
Mon problème se situe à la question 2d et donc à la 3 que je ne peux pas faire !
Merci d'avance ! 
Bonjour, z5-1=(z-1)(z4+z3+z2+z+1) donc les racines de Q(z) sont les racines cinquième de l'unité sauz z=1. Si tu as résolu 2c) tu as les expressions.
Eh bien, je trouve 5 racines pour les racines cinquièmes de l'unité (logique) mais je ne trouve que deux solutions à la question 2c ... Est-ce normal ?
si Z=z+1/z 
z²-zZ+1=0 pour chaque valeur de Z, tu as deux valeurs de z, c'est une équation du second degré.
les racines 5 ième de l'unité s'écrivent aussi cos 2pi/5 + i sin 2pi/5 ; cos 4Pi/5 + i sin 4pi/5, etc... car si z5=1 et z=ei
alors z5=e5i=1, etc...
Pour la question 2c je trouve des incohérences, j'arrive à des valeurs négatives sous la racine carrée ! Pourriez-vous me dire les résultats que vous obtenez pour que je puisse vérifier ?
non, trop long. il y a trop de monde sur le forum pour que je puisses te détailler des réponses comme ça.
Bonjour,
J'ai le même DM, je suis bloquée à la question 3, tout le reste je l'ai fait. Pourriez-vous m'aider svp ?
Merci