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Niveau Maths sup
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Equation polynomiale-Complexes

Posté par
miss-DDHT
17-09-11 à 13:16

Bonjour,

Je suis bloquée sur une des questions de mon DM, est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer s'il vous plait ?

Voici l'énoncé :

Soit l'équation :
(E) : z 5 −1= 0 .
1. Résoudre (E) dans ℂ en calculant les cinq racines de (E) sous forme trigonométrique.
2. On va maintenant résoudre (E) par radicaux carrés :
2.a Déterminer la fonction polynomiale Q telle que pour tout z ∈ ℂ :
z 5 −1= (z −1)Q(z )
2.b Déterminer des réels a,b,c tels que pour tout z ∗ ∈ ℂ :
Q(z)/z² = a(z+1/z)²+b(z+1/z)+c
2.c Résoudre, en exprimant les solutions par radicaux carrés, l'équation :
aZ 2 +bZ +c = 0
d'inconnue Z ∈ ℂ.
2.d Pour finir, résoudre l'équation
Q(z ) = 0
en exprimant les solutions par radicaux carrés, éventuellement superposés.
3. Des questions précédentes, déduire des expressions par radicaux de :
cos 2pi/5 ; cos 4Pi/5 ; cos pi/5 ; sin 2pi/5 ; sin 4pi/5 ; sin pi/5

Mon problème se situe à la question 2d et donc à la 3 que je ne peux pas faire !

Merci d'avance !

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation polynomiale-Complexes 17-09-11 à 13:45

Bonjour, z5-1=(z-1)(z4+z3+z2+z+1) donc les racines de Q(z) sont les racines cinquième de l'unité sauz z=1. Si tu as résolu 2c) tu as les expressions.

Posté par
miss-DDHT
re : Equation polynomiale-Complexes 17-09-11 à 13:58

Eh bien, je trouve 5 racines pour les racines cinquièmes de l'unité (logique) mais je ne trouve que deux solutions à la question 2c ... Est-ce normal ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation polynomiale-Complexes 17-09-11 à 14:00

tu trouve deux solutions pour Z=z+1/z donc 4 solutions pour z

Posté par
miss-DDHT
re : Equation polynomiale-Complexes 17-09-11 à 14:22

Je trouve bien deux solutions pour Z mais pour z aussi ... Je ne vois pas mon erreur ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation polynomiale-Complexes 17-09-11 à 14:31

si Z=z+1/z z²-zZ+1=0 pour chaque valeur de Z, tu as deux valeurs de z, c'est une équation du second degré.

Posté par
miss-DDHT
re : Equation polynomiale-Complexes 17-09-11 à 14:40

Ah oui d'accord ! Merci ! Et pour la question 3 je ne vois pas le rapport en fait ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation polynomiale-Complexes 17-09-11 à 15:00

les racines 5 ième de l'unité s'écrivent aussi cos 2pi/5 + i sin 2pi/5 ; cos 4Pi/5 + i sin 4pi/5, etc... car si z5=1 et z=ei alors z5=e5i=1, etc...

Posté par
miss-DDHT
re : Equation polynomiale-Complexes 17-09-11 à 15:02

Mais oui ! Je vais essayer ! Merci !

Posté par
miss-DDHT
re : Equation polynomiale-Complexes 17-09-11 à 18:11

Pour la question 2c je trouve des incohérences, j'arrive à des valeurs négatives sous la racine carrée ! Pourriez-vous me dire les résultats que vous obtenez pour que je puisse vérifier ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Equation polynomiale-Complexes 17-09-11 à 18:24

non, trop long. il y a trop de monde sur le forum pour que je puisses te détailler des réponses comme ça.

Posté par
SaraturMMC
re : Equation polynomiale-Complexes 21-10-19 à 11:50

Bonjour,
J'ai le même DM, je suis bloquée à la question 3, tout le reste je l'ai fait. Pourriez-vous m'aider svp ?
Merci

Posté par
lafol Moderateur
re : Equation polynomiale-Complexes 21-10-19 à 13:26

Glapion @ 17-09-2011 à 15:00

les racines 5 ième de l'unité s'écrivent aussi cos 2pi/5 + i sin 2pi/5 ; cos 4Pi/5 + i sin 4pi/5, etc... car si z5=1 et z=ei alors z5=e5i=1, etc...



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