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équations différentielles

Posté par
Marie-C 20-10-07 à 17:03

Bonjour,

J'ai plusieurs questions
J'aimerais, tout d'abord savoir si mon équation est juste.
3$(1+\frac{1}{t})y'-ty=0
Cela est équivalent à :
3$y'-\frac{t^2}{1+t}y=0 \\ \textrm donc a(t)={t^2}{1+t}=\frac{t^2-1+1}{1+t}=\frac{^(t+1)(t-1)}{1+t}+\frac{1}{1+t}=(t-1)+\frac{1}{1+t} \\ \textrm une primitive est donc \frac{1}{2}t^2-t+ln|1+t|
donc 3$e^{A(t)}=|1+t|e^{\frac{1}{2}t^2-t}
donc3$(|1+t|e^{\frac{1}{2}t^2-t}y)'=0
il y a donc 2 solutions différentes:
Là, j'ai une autre question: comment enlever les valeurs absolues
est ce égal à
5$y=\{{\ k{_1}(1+t)e^{\frac{-1}{2}t^2+t}\atop\ k_{2}\times(1+t)e^{-\frac{1}{2}t^2+t}}\.
\textrm \magenta\ Par ailleurs, si vous avez d'autres manieres de proceder, je ne suis pas contre le fait que vous me les proposiez.
merci d'avance

Posté par
1 Schumi 1re : équations différentielles 20-10-07 à 17:23

Salut,

Citation :
Cela est équivalent à :

C'est "presque" équivalent à. t=-1 fais tâche. Précise le même si c'est un cas particulier inintéressant et trivial.

Posté par
gui_toure : équations différentielles 20-10-07 à 17:24

Salut

Si ça peut t'aider Equation différentielle du second ordre

Posté par
infophilere : équations différentielles 20-10-07 à 17:26

Il faudra essayer de recoller en -1 ensuite

Posté par
gui_toure : équations différentielles 20-10-07 à 17:28

Si tu lis mes tous derniers posts, tu verras que dans la question le prof ne s'est pas plus que ça préoccupé du raccordement.

Posté par
Marie-Cre : équations différentielles 20-10-07 à 17:28

salut à vous deux
Schumi:est ce que ce que j'ai marqué est juste?
Je ne sais pas si on peut enlever la valeur absolue et mettre (1+t)ou s'il faut tenir compte du signe de t.

gui-tou: je te remercie mais pour l'instant, je n'ai pas encore vu le second ordre

Posté par
gui_toure : équations différentielles 20-10-07 à 17:29

Ah mais c'est justement pas du second ordre : la plus grosse partie c'est de résoudre : Equation différentielle du second ordre

Posté par
1 Schumi 1re : équations différentielles 20-10-07 à 17:29

Je sais pas, je me suis focalisé sur la division par 0 (je me venge du coup de gui_tou ). Attends, je regarde ça.

Posté par
Marie-Cre : équations différentielles 20-10-07 à 17:30

kévin: le prof nous a expliqué le raccordement mais je n'ai pas compris comment faire exactement.
Tu pourrais me réexpliquer?
Il faut chercher la limite en -1?

Posté par
1 Schumi 1re : équations différentielles 20-10-07 à 17:31

En gros, oui.

Posté par
Marie-Cre : équations différentielles 20-10-07 à 17:37

euh, en -1, ça fait 0?
donc qu'est ce que ça veut dire?

Posté par
infophilere : équations différentielles 20-10-07 à 17:37

Pour raccorder il faut montrer que tes deux fonctions sont dérivable en -1 et de même valeur de dérivée en ce point.

Donc oui on calcule la limite d'un taux d'accroissement en -1.

Posté par
1 Schumi 1re : équations différentielles 20-10-07 à 17:38

Que la solution, c'est la fonction nulle. C'est bien ce que je disais: inintéressant et trivial.

Posté par
infophilere : équations différentielles 20-10-07 à 17:41

Non Ayoub il ne suffit pas de voir ce qui se passe pour t=-1. On a trouvé deux solutions sur ]-oo,-1[ et ]-1,+oo[ maintenant il faut pouvoir recoller les deux intervalles en -1, et on est obligé de voir du côté de la dérivée (donc continuité en même temps) en ce point.

Posté par
gui_toure : équations différentielles 20-10-07 à 17:42

Tout a fait.

Posté par
1 Schumi 1re : équations différentielles 20-10-07 à 17:42

Non Kévin >> Je lui ai dit de séparer le cas t=-1 si elle voulait diviser. Et pour t=-1, c'est la fonction nulle qui est solution. Sinon, on est d'accord.

Posté par
infophilere : équations différentielles 20-10-07 à 17:44

Ah ok je croyais que tu disais que c'était suffisant

Mais oui c'est nécessaire que la limite en -1 à gauche et à droite soit 0 du coup.

Posté par
1 Schumi 1re : équations différentielles 20-10-07 à 17:45

Bon, je te laisse la relève, je dois y aller.

Posté par
Marie-Cre : équations différentielles 20-10-07 à 17:49

ok,
Qu'est ce que vous avez tous à dire trivial? ( quasiment jamais entendu ce mot avant cette année, et là à toutes les sauces)
J'en ai une plus intéressante:5$\magenta x^2y'+xy= arctan x
Avec la même méthode que précédemment, on trouve:
On se place sur R*
(xy)'= \frac{arctanx}{x}
Après comment intéger?
J'ai fait (ce qui doit être totalement faux)
3$\blue\textrm \frac{arctanx}{x}=\frac{arctanx}{tan(arctanx)}=\frac{X}{tanX} avec X=arctan x \\ c'est egal a \frac{X cosX}{sinX}

Posté par
1 Schumi 1re : équations différentielles 20-10-07 à 17:50

On dit qu'une proposition est triviale, quand on arrive pas à la démontrer.

Posté par
kaiser Moderateurre : équations différentielles 20-10-07 à 17:52

Bonjour à tous

je me permets de m'incruster et je m'adresse à Schumi :

Je ne suis pas sûr de bien comprendre où tu veux en venir :

Citation :
Et pour t=-1, c'est la fonction nulle qui est solution.


solution sur quel ensemble ?

Kaiser

Posté par
Marie-Cre : équations différentielles 20-10-07 à 17:52

salut Schumi, bonne soirée
Euh, il faut aussi dériver cette superbe fonction que nous avons trouvé? (ce n'est pas suffisant de faire la limite?)

Posté par
infophilere : équations différentielles 20-10-07 à 18:04

Salut Kaiser

Marie > Tes fonctions solutions doivent être dérivable sur |R non ?

PS : J'aime pas le mot trivial ^^

Posté par
Marie-Cre : équations différentielles 20-10-07 à 18:08

hello Kaiser.
Bah en fait, on indique clairement que on ne peut pas prendre la valeur -1. Donc, pour moi, elles ne devaient pas être dérivables sur R.

Posté par
kaiser Moderateurre : équations différentielles 20-10-07 à 18:10

Citation :
Marie > Tes fonctions solutions doivent être dérivable sur |R non ?


je dirais même plus, de classe \Large{C^1}
(c'est pour cela qu'on doit dériver)

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : équations différentielles 20-10-07 à 18:11

je précise : dans le cas, où l'on veut raccorder des solutions, ce que l'on peut faire pour la première équation.

Kaiser

Posté par
Marie-Cre : équations différentielles 20-10-07 à 18:15

ok.
merci

Posté par
infophilere : équations différentielles 20-10-07 à 18:17

Oui merci Kaiser !

Posté par
kaiser Moderateurre : équations différentielles 20-10-07 à 18:17

Posté par
Marie-Cre : équations différentielles 20-10-07 à 18:21

merci à vous 4. (j'en ai pas oublié?)

Posté par
Marie-Cre : équations différentielles 20-10-07 à 18:22

une petite idée pour la 2ème?
Je suppose uqe ce que j'ai écrit est faux, non?

Posté par
kaiser Moderateurre : équations différentielles 20-10-07 à 18:32

ce que tu as écrit en bleu est juste mais j'ai bien l'impression que ça ne vas pas t'aider. D'autant plus, qu'il me semble que les primitives de la fonction que tu veux intégrer ne sont pas exprimables à l'aides des fonctions usuelles.
Bref, il suffit d'écrire une primitive n utilisant le symbole "intégrale"; je crois bien que c'est tout ce que l'on peut faire.

Kaiser
P.S : juste pour la rédaction, il faut non pas dire que l'on se place sur R* mais sur un intervalle (donc \Large{]-\infty,0[} ou \Large{]0,+\infty[}).

Posté par
infophilere : équations différentielles 20-10-07 à 18:39

Maple me donne des solutions d'un degré de mochitude élevé

Posté par
kaiser Moderateurre : équations différentielles 20-10-07 à 18:40

Posté par
gui_toure : équations différentielles 20-10-07 à 18:41

Polylog ?

Salut Kaiser Comment vas-tu ?

Posté par
kaiser Moderateurre : équations différentielles 20-10-07 à 18:45

gui_tou > très bien merci, et toi ?

Citation :
Polylog ?


Plus précisément, dilog !
Voyez par vous-même :

équations différentielles

Kaiser

Posté par
Marie-Cre : équations différentielles 20-10-07 à 18:47

ok
il n'y a pas d'autres choix que de laisser le symbole de l'intégrale?
Je suis décue. C'est un exo de petites mines.
Ils pourraient pas proposer de beaux exercices, au lieu de calculs barbares?

Posté par
gui_toure : équations différentielles 20-10-07 à 18:48

Je ne dois pas savoir me servir de l'ami Maple

C'est défini comment, le dilog ?

équations différentielles

Posté par
kaiser Moderateurre : équations différentielles 20-10-07 à 18:50

Citation :
il n'y a pas d'autres choix que de laisser le symbole de l'intégrale?


apparemment, non !

Citation :
Ils pourraient pas proposer de beaux exercices, au lieu de calculs barbares?


Justement, ça ne demande pas plus de calculer. Les calculs barbares, ce serait plutôt quand tu as affaire à des fractions rationnelles et que tu dois te taper une bonne vieille décomposition en éléments simples (ça, je ne suis pas sûr que tu aies déjà vu ça), bien moche comme il faut.

Kaiser

Posté par
1 Schumi 1re : équations différentielles 20-10-07 à 18:53

Salut Kaiser,

Pour répondre à ta question: sur R.

Citation :
Les calculs barbares, ce serait plutôt quand tu as affaire à des fractions rationnelles et que tu dois te taper une bonne vieille décomposition en éléments simples (ça, je ne suis pas sûr que tu aies déjà vu ça), bien moche comme il faut.

Les calculs intégrales ont une bonne place au palmarès aussi.

Posté par
kaiser Moderateurre : équations différentielles 20-10-07 à 18:54

c'est ce que l'on appelle la fonction dilogarithme. Elle est définie par :

\Large{dilog(x)=\Bigint_{1}^{x}\dfrac{\ln(t)}{1-t}dt}

Kaiser

Posté par
Marie-Cre : équations différentielles 20-10-07 à 18:54

euh si,  je l'ai déjà vu, en SI..
Effectivement,on n'a pas besoin de calculer plus mais on reste un peu sur notre fin quand même.
gui-tou: impressionnant, ce que tu trouves.

En tout cas, \textrm\green\ merci d'avoir pris le temps de me repondre

Posté par
kaiser Moderateurre : équations différentielles 20-10-07 à 18:58

Schumi >

Citation :

Pour répondre à ta question: sur R.


mais la fonction nulle n'est pas la seule solution définie sur R.
En effet, en reprenant les notations de marie-C, avec \Large{k_1=k_2}, toutes les fonctions ainsi définie sont solutions sur R (en particulier, on en a une infinité).

Citation :

Les calculs intégrales ont une bonne place au palmarès aussi.


quand elles sont calculables !

Kaiser


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