Bonjour

1) :elle s'écrit aussi y' = x(1+y²) ou encore y'/(1+y²) = x .... ça s'intègre gentiment.

Bonjour,
1) Oui, c'est une équation à variables séparable y'/(1+y²) = x arctan y = x²/2 + C
y = tan(x²/2+ C)

2) oui trouve d'abord les solutions de l'équation sans second membre y'/y = x/(1-x²) ln |y| = -2ln(1-x²)+C y=K/(x²-1) puis oui fais varier la constante

3) C'est x(y²-x²)y'-2y^3 = 0 ?

4) la solution de l'équation homogène est classique, c'est Ae^x+Be^2x
il te reste à trouver une solution particulière, cherche la sous la forme (ax²+bx+c)e^x, tu trouveras sans peine (-3x²/2-4x)e^x

5)même méthode y=A sin(x2)+B cos(x2) + x³+3x²/2-5x/2+1

6)même méthode, solution homogène Ae^-3x + B et pour la solution particulière, cherche la sous la forme Ke^-x/3

oui j'ai finalement réussi la première mais les autres?

Merci. oui pour la 3) c'est bien =0 une erreur de frappe désolé

et est- ce que se serai possible que vous puissiez m'aider sur un autre topic que j'ai publié aujourd'hui qui s'appelle intégration des fractions rationnelles SVP :/

est-ce quelqu'un pourrait me répondre SVP

Relance sur l'autre topic alors. Ne relance ici que si tu as encore besoin d'aide sur tes équations différentielles.

entendu

est-ce que quelqu'un pourrait me détaillé la première équation svp

Dans mon premier post, c'était déjà assez détaillé, non ?

Moi pour la première je trouve arctan y= lnx

une primitive de x c'est x²/2, pas ln x

y'/(1+y²) = x donne arctan y = x²/2 + C et après tu prends la tangente des deux cotés pour avoir y

Bonjour Glapion .

Ah d'accord c'est que j'avais la primitive de 1/x et pas x c'est pour ca c'est que je me suis trompée dans mes calculs merci

pour la 2) j'obtiens y=racine carré (1-x²)+c

non, tu avais un début de solution dans mon premier topic. ln |y| = -(1/2)ln|1-x²|+C
Donc déjà la solution de l'équation homogène, c'est
Et comme solution particulière, on trouve

tu t'es trompé non?
c'est lny=(1/2)ln(1-x²)
et donc y=k/racine carré(1-x²)

le problème c'est que je n'arrive pas a trouver la solution particulière.
Est-ce que tu pourrais détailler ton raisonnement pour la solution particulière stp

|x²-1|= 1 - x² sur le domaine de définition de ton équa diff ...

pour la variation de la constante, tu écris , tu calcules y', tu reportes dans l'équation sans te tromper, et tu obtiens une expression pour K'(x) ...

Donc on trouve pareil, non ?
y'/y = x/(1-x²) y'/y = (-1/2) (1-x²)'/(1-x²) ln|y| = (-1/2) ln |1-x²| + C = ln [1/|1-x²|] + C y = K/|1-x²|
(n'oublie pas les valeurs absolues)

ha oui je n'avais pas vu qu'au début 1-x² est sous une racine carré et donc que |1-x²|=1-x² car forcement positif
donc OK tu peux les enlever.

Merci lafol mais j'ai beau faire ce raisonnement mais je ne trouve jamais la solution particulière attendue

oui oui je trouve bien ca glapion

1)

y'-xy²=x
y' = x(1+y²)

y'/(1+y²) = x

dy/(1+y²) = x dx

On intègre :  

arctg(y) = x²/2 + C

y = tg(x²/2 + C)

-----

2) (1-x²)y'-xy = 2x.V(1-x²)

méthode 1:

Poser y = uv
y' = uv' + u'v

(1-x²).(uv' + u'v)-xuv = 2x.V(1-x²)
u.((1-x²).v' - xv) + (1-x²).u'v = 2x.V(1-x²)

Cherchons une expression de v telle que (1-x²).v' - xv = 0
v'/v = x/(1-x²)
ln|v| = -(1/2).ln|1-x²| = ln|1/racine(1-x²)|
v = 1/racine(1-x²)

L'équation devient alors : (1-x²).u' * 1/racine(1-x²) = 2x.V(1-x²)
u' = 2x
u = x²+C

Et donc y = (x²+C)/racine(1-x²)
-----
méthode 2 :

(1-x²)y'-xy = 2x.V(1-x²)

Solutions de (1-x²)y'-xy = 0
y'/y = x/(1-x²)
ln|K.y| = -(1/2).ln|1-x²|
ln|K.y| = ln|1/racine(1-x²)|
K.y = 1/racine(1-x²)
y = C/racine(1-x²)
---
Solution particulière de (1-x²)y'-xy = 2x.V(1-x²)

y = f/rac(1-x²)

y' = (f'.rac(1-x²) + f.(1/2).2x.(1-x²)^(-1/2))/(1-x²)

(1-x²)y'-xy = f'.rac(1-x²) + f.x.(1-x²)^(-1/2) - x.f/rac(1-x²)
(1-x²)y'-xy = f'.rac(1-x²)

et avec (1-x²)y'-xy = 2x.rac(1-x²) --->
2x.rac(1-x²) = f'.rac(1-x²)

f' = 2x
f = x²
et donc y = x²/rac(1-x²)
---
Solutions générales de (1-x²)y'-xy = 2x.V(1-x²)

y = x²/rac(1-x²) + C/racine(1-x²)
y = (x²+C)/racine(1-x²)
---
Avec les 2 méthodes, réfléchir pour |x| = 1 ... qui devrait donner y = 0
... mais impossible.

Sauf distraction.  

Merci J-P c'est très clair.
Mais pourquoi pour la deuxième méthode de la solution particulière tu as mis "^(-1/2)"

J'ai un problème pour l'équation 3. J'imagine que je dois faire passer tout les x de l'autre côté.
J'obtiens alors y'-2y^3+y²=x²
Et la je suis coincé

Comment peux-tu trouver cette expression à partir de x(y²-x²)y'-2y^3 = 0 tu as des façons de simplifier un peu hasardeuses !

Entendu J-P MERCI.

Et glapion je c'est pas :/ tu as trouvé quoi toi

la 3), en divisant tout pas x^3, on fait apparaitre des z = y/x

3)

x(y²-x²)y'-2y³ = 0
xy²y' - x³y'- 2y³ = 0 ; si x est différent de 0 --->

(y/x)² .y' - y'- 2(y/x)³ = 0

Poser y/x = u
y = ux
y' = u'x + u

L'équation devient : u².(u'x + u) - (u'x + u) - 2u³ = 0

u².u'.x + u³ - u'x - u - 2u³ = 0
u².u'.x - u³ - u'x - u = 0

u'.x(u² - 1) = u³+u

du/dx * x(u² - 1) = u³+u

du * (u²-1)/(u³+u) = dx/x

On intègre : ln|(u²+1)/u| = ln|k.x|

(u²+1)/u = kx.

(y²/x² + 1)/(y/x) = kx

(y²/x² + 1) = k.y

y² - kyx² + x² = 0

y = [kx² +/- V(k²x^4 - 4x²)]/2

A vérifier.  

Je ne comprend pas pourquoi tu veux tout diviser par x^3

Merci J-P

Et j'ai un problème pour la 6) je trouve Z=0 est ce que c'est normal?

Et J-P pour la question3) tu n'as pas oublié un chiffre ou autre dans ta dernière ligne?

6)y"+3y'=exp^(-x/3)

Solutions de y"+3y'=0
p² + 3p = 0
p(p+3) = 0
p = 0 ou p=-3

y = A + B.e^(-3x)
---
Solution particulière de y"+3y'=exp^(-x/3)

y = C.e^(-x/3)

y' = -C/3.e^(-x/3)
y'' = C/9.e^(-x/3)

y"+3y' = (C/9 - C).e^(-x/3)
y"+3y' = -(8C/9).e^(-x/3)

--> -(8C/9).e^(-x/3)  = e^(-x/3)
8C/9 = -1
C = -9/8

y = -(9/8).e^(-x/3)
---
Solutions générales de y"+3y'=exp^(-x/3)

y = A + B.e^(-3x) - (9/8).e^(-x/3)

Avec A et B des constantes réelles.
-----
Sauf distraction.  

Merci J-P

l'intérêt de tout diviser par ? c'est de faire apparaitre les y/x qui seront remplacés par u...
y' étant remplacé par (ux)' = u'x + u

tu as ainsi directement une équation dans laquelle il est relativement facile d'isoler 1/x = u'fois expression en u

tu obtiens ainsi après avoir tout divisé par et remplacé y/x par u et y' par (u'x+u) : donc ou encore

c'est ce que J-P a fait, de manière très légèrement différente

J-P, pour le 2 méthode 2
je ne comprend pas comment tu as fais pour aller de cette ligne là: y' = (f'.rac(1-x²) + f.(1/2).2x.(1-x²)^(-1/2))/(1-x²) à cette ligne là: (1-x²)y'-xy = f'.rac(1-x²) + f.x.(1-x²)^(-1/2) - x.f/rac(1-x²)

J-P,
Et comment tu es passé de cette ligne là: y² - kyx² + x² = 0 à cette ligne là: y = [kx² +/- V(k²x^4 - 4x²)]/2  pour le 3

dans le 2 : il a multiplié y' par (1-x²) puis a ajouté au résultat -xy ... (dans lequel y remplacé par sa valeur en fonction de f)

et effectué (1/2).2 = 1, aussi ...

pour le 3 : ne me dis pas que tu ne sais pas résoudre une équation de type y² + by + c = 0 ?

Ah merci lafol et pour le 3 je n'avais pas compris ca mais maintenant c bon j'ai compris

Est-ce que lafol tu peux me détailler les étapes de calculs entre les deux lignes que j'ai précisé dans l'autre message à propos du 2 méthode 2 parce que j'ai beau faire ce que tu as dis je n'arrive pas au même résultat que J-P
Merci

tu plaisantes ? il y a une fraction sur (1-x²) à multiplier par (1-x²) : tu te contentes de virer le trait de fraction et ce qui est dessous, en même temps tu simplifies en haut le demi avec le 2
et ensuite tu ajoutes -xy = -xf/rac(1-x²)

Et pour le 3 j'ai résolu ca y² - kyx² + x² = 0 mais je ne vois pas le rapport avec y = [kx² +/- V(k²x^4 - 4x²)]/2

delta = (kx²)² - 4x², puis y = (kx² + ou - racine(delta))/2

Merci