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Équations différentielles linéaires

Posté par
Aerobi 09-05-11 à 08:44

Bonjour j'ai la résolutions d'un exercice qui me pose problème si il était possible de m'aider je vous en remercie d'avance!

On considère l'équation différentielle  (E): 4$ xy''-y'-4x^3y=0

a)Résoudre l'équation sur 4$ \mathbb{R}_+^* en posant 3$ x=\sqrt{t}

Soit y une fonction deux fois dérivable définie sur \mathbb{R}_+^* et z définie par 4$ z(t)=y(\sqrt{t}) de sorte que 4$ y(x)=z(x^2).
z est deux fois dérivable.
On a 4$ y'(x)=2xz'(x^2) et 4$ y''(x)=2z'(x^2)+4x^2z''(x^2).
y est solution sur \mathbb{R}_+^* ssi 4$ x[2z'(x^2)+4x^2z''(x^2)]-[2xz'(x^2)]-4x^3[z(x^2)]=0 4$ z''(x^2)-z(x^2)=0
Cela donne finalement 5$ y(x)=\lambda e^{x^2}+\mu e^{-x^2} 3$ (\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^2


b)Résoudre l'équation sur 4$ \mathbb{R}_-^*

Là j'ai un problème j'ai voulu montrer que si y est solution sur I alors x y(−x) est solution sur I' symétrique de I par rapport à 0...
Soit z: x y(-x) deux fois dérivable sur I'.
3$ z(x)=y(-x) donc 3$ z'(x)=-y'(-x) et 3$ z''(x)=y''(-x).
Or 4$ xz''(x)-z'(x)-4x^3z(x)=xy''(-x)+y'(-x)-5x^3y(-x)=... mais je n'arrive pas au résultat et je n'arrive pas à rédiger proprement cette réponse...


c)Résoudre l'équation sur 3$ \mathbb{R}

Si j'arrive à montrer que y est solution sur 3$ \mathbb{R}_+^* et 3$ \mathbb{R}_-^* on pourra écrire que pour tout x supérieur à 0 4$ y(x)=\lambda_1 e^{x^2}+\mu_1 e^{-x^2} 3$ (\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^2 et pour x inférieur à 0 4$ y(x)=\lambda_2 e^{x^2}+\mu_2 e^{-x^2} 3$ (\lambda,\mu)\in \mathbb{R}^2
Or y est continue en 0 donc on a 3$ \lambda_1 +\mu_1=\lambda_2 +\mu_2
là non plus je ne sais pas comment conlure...


Merci d'avance

Posté par
co13re : Équations différentielles linéaires 09-05-11 à 09:31

pour le b , tu dois écrire ta relation initiale pour -x , à savoir :
      (-x)y"(-x)-y'(-x)+4x^3y(-x)=0
d'où avec z(x)=y(-x) :
-xz"(x)+z'(x)+4x^3z(x)=0
d'où la conclusion .


pour le c , c'est un recollement d'une équation d'ordre 2 : ta solution est deux fois dérivable en 0 ...

Posté par
Surbre : Équations différentielles linéaires 09-05-11 à 09:38

Bonjour,
b) pose plutôt
z:x \to y(\sqrt{-x})
et tu refais le même raisonnement qu'en a).
c) tes coefficients, lambdas et mus sont normalement déterminés par des conditions initiales sur y et y'.

Posté par
Aerobire : Équations différentielles linéaires 09-05-11 à 11:13

Ok merci pour la b!
Par contre je ne vois pas comment continuer pour la c) parce que en dérivant je n'arrive à rien de bien... Comment justifie t-on que les dérivée première et seconde sont continues en 0?

Posté par
co13re : Équations différentielles linéaires 09-05-11 à 11:28

y et y' sont continues en 0 et y' est dérivable en 0 . C'est la définition d'une solution sur R d'une solution .
tu obtiens alors :
y'(0)=0 (faire x=0 dans l'équation)
et tu résous un système à 4 équations et 4 inconnues .

Posté par
Aerobire : Équations différentielles linéaires 11-05-11 à 10:33

Merci beaucoup!


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