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Equations et entiers de Gauss

Posté par
Fract6 09-01-21 à 23:18

Bonsoir,
Je suis entrain de travailler un DL sur les entiers de Gauss.
À la fin il'y a 2 parties comme application.
Bon la dernière question est de résoudre y^3=x^2+1
ayant avant prouvé que x+i et x-i sont des cubes dans Z[i] et qu'ils sont
Z[i] - premiers entre eux.
Au début il est aussi demandé de donner la parité de x et y, j'ai seulement réussi a montrer qu'ils ont parités différentes.
Pour la résolution je ressent qu'il y a quelque chose à quoi j'ai pas fait attention.
Des indications svp ?
Merci.

Posté par
DOMOREAEquations et entiers de Gauss 10-01-21 à 09:22

bonjour,

Citation :
Pour la résolution je ressens qu'il y a quelque chose à quoi je n'ai pas fait attention.

De quelle résolution parles tu ?
J'imagine qu'il ne s'agit pas de démontrer que x et y sont de parités différentes.
car sinon
x\equiv 0 (modulo 2) implique x^n \equiv 0 modulo 2)
et  x\equiv 1 (modulo 2) implique x^n \equiv 1 modulo 2) donc si y^3=x^2+1 alors x et y sont de parités différentes.

Posté par
GBZMre : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 09:50

Bonjour,

Tu devrais donner une version plus complète de ton énoncé. Là, on est un peu dans le brouillard.

Posté par
Fract6re : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 12:39

DOMOREA @ 10-01-2021 à 09:22

bonjour,
Citation :
Pour la résolution je ressens qu'il y a quelque chose à quoi je n'ai pas fait attention.

De quelle résolution parles tu ?
J'imagine qu'il ne s'agit pas de démontrer que x et y sont de parités différentes.
car sinon
x\equiv 0 (modulo 2) implique x^n \equiv 0 modulo 2)
et  x\equiv 1 (modulo 2) implique x^n \equiv 1 modulo 2) donc si y^3=x^2+1 alors x et y sont de parités différentes.

Merci pour votre réponse.
Alors comment puis-je trouver la parité de des deux ?

Posté par
Fract6re : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 12:50

GBZM

GBZM @ 10-01-2021 à 09:50

Bonjour,

Tu devrais donner une version plus complète de ton énoncé. Là, on est un peu dans le brouillard.

Bonjour, voici l'énoncé de toute la partie :
Partie 2 :
Dans cette partie, on se propose de résoudre l'équation (E): y^3= x^2+1 dans Z. Dans toute la suite, (x,y) désigne une éventuelle solution de (E).
1. Quelles sont les parités de x et y ?
2 (a) Montrer qu'un Z[i]-pgcd de x+i et x-i  Z[i]-divise 2.
2 (b) Montrer que 2 ne peut pas être un Z[i]-pgcd de x+i et x-i.
2 (c)Montrer que x+ i et x-i sont Z[i]-premiers  entre  eux .
3. Montrer que x+i et x-i sont des cubes dans Z[i]. On pourra calculer (x+i)(x-i).
4. Résoudre (E) dans Z.

Posté par
perroquetre : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 14:10

Bonjour, Fract6.

On écrit que x+{\rm i}=(a+{\rm i}b)^3 avec a,b entiers, on égale les parties imaginaires, et cela devrait te permettre de trouver a,b, puis x,y.

Posté par
Fract6re : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 14:49

perroquet @ 10-01-2021 à 14:10

Bonjour, Fract6.

On écrit que x+{\rm i}=(a+{\rm i}b)^3 avec a,b entiers, on égale les parties imaginaires, et cela devrait te permettre de trouver a,b, puis x,y.

Merci !

Posté par
Fract6re : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 14:50

À propos de la parité et la question 2-c. Avez vous quelque proposition?
(Je les ai travaillés mais je ne suis pas sur si la méthode est juste)

Posté par
Fract6re : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 15:11

perroquet @ 10-01-2021 à 14:10

Bonjour, Fract6.

On écrit que x+{\rm i}=(a+{\rm i}b)^3 avec a,b entiers, on égale les parties imaginaires, et cela devrait te permettre de trouver a,b, puis x,y.

Cela ne me permet pas de trouver le résultat.

Posté par
perroquetre : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 15:12

A mon avis, on ne peut pas démontrer la question 2c si on n'a pas établi que x est pair (et donc que y est impair).
Pour démontrer que x est pair: on suppose que x est impair et on établit alors que x^2+1\equiv 2\pmod{4}; et cela entraîne une contradiction avec l'égalité  y^3=x^2+1.

Posté par
perroquetre : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 15:14

Je réponds au message de 15h11. Que donne l'égalité des parties imaginaires ?

Posté par
Fract6re : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 15:34

perroquet @ 10-01-2021 à 15:14

Je réponds au message de 15h11. Que donne l'égalité des parties imaginaires ?

x=-8a^3

Posté par
perroquetre : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 15:50

La partie imaginaire de x+i, ce n'est pas x.
La partie imaginaire de (a+ib)^3, ce n'est pas -8a^3.

Je demandais de regarder l'égalité des parties imaginaires lorsqu'on écrit l'égalité x+i=(a+ib)^3

Posté par
Fract6re : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 15:58

perroquet @ 10-01-2021 à 15:50

La partie imaginaire de x+i, ce n'est pas x.
La partie imaginaire de (a+ib)^3, ce n'est pas -8a^3.

Je demandais de regarder l'égalité des parties imaginaires lorsqu'on écrit l'égalité x+i=(a+ib)^3

3a^2b-b^3=1
En remplaçant b^2 dans la partie réele j'ai trouvé le résultat que j'ai mentionné avant.

Posté par
perroquetre : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 16:09

L'égalité s'écrit    b(3a^2-b^2)=1

Or, un produit de deux entiers est égal à 1 si et seulement si ...

L'idée ci-dessus permet d'obtenir les valeurs de a et b.

Posté par
perroquetre : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 16:10

Je pars pour un bon moment.
Si quelqu'un veut prendre le relais ...

Posté par
Fract6re : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 16:17

perroquet @ 10-01-2021 à 15:12

A mon avis, on ne peut pas démontrer la question 2c si on n'a pas établi que x est pair (et donc que y est impair).
Pour démontrer que x est pair: on suppose que x est impair et on établit alors que x^2+1\equiv 2\pmod{4}; et cela entraîne une contradiction avec l'égalité  y^3=x^2+1.

Quelle est cette contradiction ?

Posté par
Fract6re : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 16:18

perroquet

perroquet @ 10-01-2021 à 16:10

Je pars pour un bon moment.
Si quelqu'un veut prendre le relais ...

Ok merci !

Posté par
perroquetre : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 19:50

Je réponds au post de 16h17.

Est-il possible que y^3 \equiv 2 \pmod{4} ?

Posté par
Fract6re : Equations et entiers de Gauss 10-01-21 à 22:09

perroquet @ 10-01-2021 à 19:50

Je réponds au post de 16h17.

Est-il possible que y^3 \equiv 2 \pmod{4} ?

Oui je l'ai trouvée, merci beaucoup!


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