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équivalence de normes

Posté par
sheigh
15-09-21 à 16:55

Bonjour à tous,

Pouvez-vous m'expliquer comment montrer l'équivalence dans ces deux exemples.

1er exemple:
E=R^2, comparer N1,N2 et Ninfini

2ème exemple:
E=K[X] et on remarque que Ninfini\preceq N2\preceq N1
Considérons la suite de polynôme définie par P(n)=\sum{n,k=o} X^k
1) On demande de calculer pour tout n \in N, N1(Pn), N 2(Pn) et Ninfini(Pn) \rightarrow Ok
2) Est-ce que les normes N1,N2,Ninfini sont équivalentes ?

Je vous remercie.

Posté par
bernardo314
re : équivalence de normes 15-09-21 à 17:10

Bonjour,

tu écris la définition que tu dois connaître et il n'y a pas de difficultés à mon avis, qu'as tu fais ?

Posté par
carpediem
re : équivalence de normes 15-09-21 à 17:11

salut

en vérifiant ou démontrant les propriétés de la définition de deux normes équivalentes ...

donc à quelle condition deux normes sont équivalentes ?

Posté par
sheigh
re : équivalence de normes 15-09-21 à 17:22

Re,

2 normes sont équivalentes :

Il existe \alpha
\in R<sup>+*</sup>, Pour tout x appartenant à E , N2(x)\leq \alphaN2(x)

Posté par
sheigh
re : équivalence de normes 15-09-21 à 17:23

Mince je n'ai pas réussi à rectifier donc c'est N2(x)\leq
\alpha N1(x)

Posté par
bernardo314
re : équivalence de normes 15-09-21 à 17:30

il manque une autre inégalité,  ensuite écrit explicitement ce que tu veux pour ton exercice et trouves un   \alpha    convenable

Posté par
sheigh
re : équivalence de normes 15-09-21 à 17:45

ah oui, c'est \alpha N1(x)\leq N2(x)\leq bN1(x)
Il faut donc les comparer deux à deux , mais un \alpha
convenable ?

Posté par
carpediem
re : équivalence de normes 15-09-21 à 18:01

ok ...

N_1 et N_2 sont équivalentes s'i existe des réels a et b tels que aN_1(u) \leN_2(u) \le bN_2(u)

ou encore

N_1 et N_2 sont équivalentes s'i existe des réels c et d tels que cN_2(u) \leN_1(u) \le dN_1(u)

PS : quelle relation existe-t-il entre es réels a, b, c et d ?

donc prenons u = (x, y) \in \R^2

N_1(u) = ...  ?
 \\ N_2(u) = ...  ?

Posté par
carpediem
re : équivalence de normes 15-09-21 à 18:03

carpediem @ 15-09-2021 à 18:01

ok ...

N_1 et N_2 sont équivalentes s'il existe des réels a et b tels que aN_1(u) \le N_2(u) \le bN_1(u)

ou encore

N_1 et N_2 sont équivalentes s'il existe des réels c et d tels que cN_2(u) \le N_1(u) \le dN_2(u)

PS : quelle relation existe-t-il entre es réels a, b, c et d ?

donc prenons u = (x, y) \in \R^2

N_1(u) = ...  ?
 \\ N_2(u) = ...  ?

Posté par
sheigh
re : équivalence de normes 16-09-21 à 05:43

Re,

N1(u)=IxI+IyI
N2(u)=\sqrt{IxI^2+IyI^2}

donc

a*IxI+IyI \leq
\sqrt{IxI^2+IyI^2}\leq
b*IxI+IyI \leq

c*\sqrt{IxI^2+IyI^2}\leqIxI+IyI \leq
d*\sqrt{IxI^2+IyI^2}


une relation entre a, b, c, et d ?

Posté par
carpediem
re : équivalence de normes 16-09-21 à 09:07

pas clair

u = (x, y)

N_1(u) = |x| + |y|
 \\ N_2(u) = \sqrt {x^2 + y^2}

et maintenant on veut trouver/déterminer les réels a, b, c et d

avoir a et b <=> avoir c et d (quand on sait la relation qu'il existe entre eux

aide : considérer le minimum et le maximum de |x| et |y| et faire des minorations/majorations ...

Posté par
bernardo314
re : équivalence de normes 16-09-21 à 11:39

N'oublions pas que les réels  a,b,c,d  doivent être strictement positifs

Posté par
sheigh
re : équivalence de normes 16-09-21 à 15:09

ok,

donc on part de :

dans mon exemple on compare N1,N2 et Ninfini

IxI\leq max(IxI,IyI)
on fait de même avec IyI
on ajoute IyI+IxI = 2*max(IxI,IyI)
d'où N1\leq2*Ninfini

on recommence  en mettant cette fois IxI^2 et IyI^2 et ensuite on met la racine
ce qui nous permet d'avoir \sqrt{x^2+y^2}=2*max(\sqrt{x^2},\sqrt{y^2})

on a ainsi une deuxième inégalité avec N2 et Ninfini, mais je bloque  pourtant je sens que c'est simple.

Posté par
carpediem
re : équivalence de normes 16-09-21 à 16:14

es-tu sûr de la dernière égalité ?

on peut calculer (|x| + |y|)^2 ...

Posté par
bernardo314
re : équivalence de normes 16-09-21 à 17:23

pour majorer    N2  tu peux par exemple supposer que  x est plus grand que  y ,  du coup  par quelle quantité N2(x, y) est-elle majorée  ?   Même chose pour minorer sachant que la valeur absolue d'un nombre positif est supérieure à 0 .



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