Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

équivalence nombres complexes

Posté par
Victor 14-09-09 à 22:03

Bonsoir à tous.
J'ai un problème sur un exercice dont l'énoncé est :

u, v, w trois complexes vérifiant |u|=|v| différent de 0. D l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant uz+vz(barre)+w=0. On note "d" une racine carrée complexe de v/u.
Montrez que M appartient à D si et seulement si z vérifie :
partie réelle de (d(barre)z) = (-d(barre)w)/(2u)

Donc moi j'ai cherché à comment exprimer d et d(barre) et puisque |u|=|v| alors |v/u|=1 et |d|^2=1 d'où d*d(barre)=1 et d= 1/d(barre)

Avec ça je pars du membre d'arrivée :
partie reelle de (d(barre)z)= [d(barre)z+dz(barre)]/2= (-d(barre)w)/(2u)

Avec les simplifications et d=1/d(barre) on obtient :

(uz)/d+udz(barre)+w/d=0

Et là je suis bloqué, je sais pas comment retrouvé le premier membre ... Si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait génial, merci d'avance !

Posté par
miltonre : équivalence nombres complexes 14-09-09 à 22:26

salut l'ami
c'est pas tres lisible ce que tu as ecrit

Posté par
Victorre : équivalence nombres complexes 14-09-09 à 22:29

C'est vrai qu'en essayant de me relire, je te l'accorde... En fait j'avais pas vu tous les symboles mathématiques utilisables en dessous, c'est mon premier post, je vais essayer de retaper ça.

Posté par
cailloux Correcteurre : équivalence nombres complexes 14-09-09 à 22:35

Bonsoir,

3$\Re\left(\bar{d}z\right)=\frac{\bar{d}z+d\bar{z}}{2}=\frac{d\bar{d}z+d^2\bar{z}}{2d}=\frac{z+\frac{v}{u}\bar{z}}{2d}=\frac{uz+v\bar{z}}{2du}=-\frac{w}{2du}=-\frac{w\bar{d}}{2u}

Posté par
miltonre : équivalence nombres complexes 14-09-09 à 22:39

uz+v\bar{z}+w=0
MDRe(\bar{d}z)=-\frac{\bar{d}w}{2u} .est-ce ça?

Posté par
Victorre : équivalence nombres complexes 14-09-09 à 22:43

oui c'est exactement ça. Excusez moi, j'ai un peu de mal avec les outils du site.

Posté par
Victorre : équivalence nombres complexes 14-09-09 à 22:47

Merci beaucoup de m'avoir éclairé sur ce problème, bonne soirée et bonne nuit à tous !

Posté par
cailloux Correcteurre : équivalence nombres complexes 14-09-09 à 23:08

De la manière dont je m' y suis pris, il y aurait une réciproque à faire...

Posté par
Victorre : équivalence nombres complexes 15-09-09 à 19:14

Peut etre pourriez vous m'aider pour une autre question de cette exercice.
On me demande ensuite de montrer que D est une droite si et seulement si :
\frac{\bar{d}w}{2u} appartient à R.
Or \frac{-\bar{d}w}{2u}= \frac{\bar{d}z+d\bar{z}}{2} et donc \frac{\bar{d}w}{u}= -(\bar{d}z+ \bar{\bar{d}+z}), soit : \frac{\bar{d}w}{u}= -2Re(\bar{d}z)
On obtient donc \frac{\bar{d}w}{u} appartient à R quelque soit D, pas seulement si D est une droite. Bref je ne comprends pas trop. D'ailleurs comment exprimer D comme une droite ?

Merci d'avance.

Posté par
Victorre : équivalence nombres complexes 15-09-09 à 21:55

Personne ne peut m'aider ... ?

Posté par
cailloux Correcteurre : équivalence nombres complexes 16-09-09 à 11:21

Re,

Il y a sûrement plus élégant:

Si \frac{\bar{d}w}{2u}\in\mathbb{R}, alors \frac{\bar{d}w}{u}=\frac{d\bar{w}}{\bar{u}}

\bar{u}\bar{d}w=ud\bar{w}

Puis en multipliant par d:

\bar{u}d\bar{d}w=ud^2\bar{w}

Soit: \fbox{\bar{u}w=v\bar{w}} et \fbox{u\bar{w}=\bar{v}w} (1)

M(z)\in D\Longleftrightarrow uz+v\bar{z}+w=0

on pose z=x+iy:

(u+v)x+iy(u-v)+w=0

a) si w\not=0:

\frac{u+v}{w}x+i\frac{u-v}{w}y+1=0

Or \frac{u+v}{w} est un réel car:

\frac{u+v}{w}-\frac{\bar{u}+\bar{v}}{\bar{w}}=\frac{u\bar{w}+v\bar{w}-\bar{u}w-\bar{v}w}{w\bar{w}}=0 avec (1)

et \frac{u-v}{w} est un imaginaire pur car:

\frac{u-v}{w}+\frac{\bar{u}-\bar{v}}{\bar{w}}=\frac{u\bar{w}-v\bar{w}+\bar{u}w-\bar{v}w}{w\bar{w}}=0 toujours avec (1)

Finalement, avec la condition \frac{\bar{d}w}{2u}\in\mathbb{R}:

uz+v\bar{z}+w=0\Longleftrightarrow ax+by+1=0 avec a\in\mathbb{R} et b\in\mathbb{R} qui est bien l' équation d' une droite.

Je te laisse examiner le cas b)w=0...

Posté par
Victorre : équivalence nombres complexes 18-09-09 à 19:15

Oula, ça me semble bien compliqué ... J'en ai parlé a mon prof et lui m'a dit que si la partie réelle de z était égale a une constante, alors D était une droite.
Il a ajouté que Re(\bar{d}z) était une rotation de la partie réelle de z par \bar{d}. Une rotation d'une droite donnant une droite, D serait bien une droite si et seulement si \frac{\bar{d}w}{u} appartient à R.
Quelqu'un pourrait il donc m'aider à exprimer Re(\bar{d}z comme une rotation de Re(z)... ?
Merci d'avance, je dois rendre mon DM demain, j'ai tout fait mais cette question pour le coup...


Rechercher
Menu
Espace membre
26 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1730 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !