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Posté par
Roulianere : Espace complet 23-02-07 à 01:22

ah ok, bon ben je ne sais pas alors

Posté par
Roulianere : Espace complet 23-02-07 à 01:34

Merci à tous en tout cas, je vais me coucher moi

Bonne nuit

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace complet 23-02-07 à 01:38

Je vais essayer de montrer la continuité en passant par les suites.
Soit x dans [0,1] et \Large{(x_{p})} une suite d'éléments de [0,1] qui converge vers x

Tout d'abord comme la suite \Large{(f_{n})} est de Cauchy alors elle est bornée et donc f aussi (ainsi parler de sa norme sup est possible)
Alors pour tout p et pour tout n, on a :

\Large{|f(x_{p})-f(x)|=|(f(x_{p})-f_{n}(x_{p}))+(f_{n}(x_{p})-f_{n}(x))+(f_{n}(x)-f(x))| }

\Large{|f(x_{p})-f(x)|\leq |f(x_{p})-f_{n}(x_{p})|+|f_{n}(x_{p})-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f(x))|\leq 2||f_{n}-f||+ |f_{n}(x_{p})-f_{n}(x)|}
Fixons \Large{\varepsilon > 0}
Par convergence uniforme, on peut choisir n tel que \Large{||f_{n}-f||\leq \frac{ \varepsilon }{3}} ainsi pour ce n , on a

\Large{|f(x_{p})-f(x)|\leq \frac{2\varepsilon}{3}+|f_{n}(x_{p})-f_{n}(x)|}

Ensuite, par continuité de \Large{(f_{n})} en x, pour p assez grand, on a :

\Large{|f_{n}(x_{p})-f_{n}(x)|\leq \frac{\varepsilon}{3}}
Finalement, pour p assez grand, on a

\Large{|f(x_{p})-f(x)|\leq \frac{2\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}= \varepsilon }

Convaincu ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace complet 23-02-07 à 01:39

Merci !
Bonne nuit à toi aussi !

Posté par
Roulianere : Espace complet 23-02-07 à 01:44

Merci Kaiser je lirais ça à ete reposée demain matin

Posté par
Roulianere : Espace complet 23-02-07 à 01:44

tête reposée

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace complet 23-02-07 à 01:44

OK !

Posté par
Roulianere : Espace complet 23-02-07 à 18:38

Merci Kaiser, j'ai bien compris, mais en fait, tu remontres que si (fn) continues convergent uniformément vers f, alors f est continue, c'est bien ça ?
Mais quand utilises-tu dans cette démo la complétude de R ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace complet 23-02-07 à 18:55

Citation :
Merci Kaiser, j'ai bien compris, mais en fait, tu remontres que si (fn) continues convergent uniformément vers f, alors f est continue, c'est bien ça ?


oui !

Citation :
Mais quand utilises-tu dans cette démo la complétude de R ?


Nulle part. Il s'agissait simplement de compléter ton raisonnement d'hier.
En effet, tu avais déjà montré que si \Large{(f_{n})} est une suite de Cauchy, alors il existe une fonction f, a priori seulement bornée, telle que \Large{\lim_{n\to +\infty}||f_{n}-f||_{\infty}=0 }. C'est dans cette partie que la complétude de \Large{\mathbb{R}} servait.
Pour montrer que cette de Cauchy converge dans l'ensemble des fonctions continues il fallait montrer que cette fonction f était continue.

Kaiser

Posté par
Roulianere : Espace complet 23-02-07 à 19:03

ah ok merci beaucoup, j'ai tout compris !

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace complet 23-02-07 à 19:04

Ravi de l'entendre !

Posté par
robby3re : Espace de Banach 08-05-07 à 12:30

(comme je sais pas trop ou le mettre je le met ici,si tu veux le déplacer aprés Kaiser...
ici: Espace complet

je comprend pas comment on montre que f est C1...
j'ai bien compris le; cheminement je crois:

on prend une suite de Cauchy dans E,elle l'est dans R complet donc fn->f dans R.
On veut montrer que f est dans E cad f est dans [0,1] et f est C1

pour cela on montre que les fn'->g=f' ??!!

c'est ça que je comprend pas.
Tu peux me l'expliquer si tu as un peu de temps devant toi

*** message déplacé ***

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace complet 08-05-07 à 12:46

en fait, on a simplement que \Large{(f_{n})} converge uniformément vers une fonction f continue et que \Large{(f_{n}')} converge uniformément vers une fonction g continue.
Un théorème nous dit alors que f est alors automatiquement de classe \Large{C^{1} } et que f'=g.
Pour le montrer, il suffit simplement de dire que \Large{f_{n}(x)=f_{n}(0)+\bigint_{0}^{x}f_{n}'(t)dt}

et dire que ça converge vers une primitive de g, plus précisément vers \Large{f(0)+\bigint_{0}^{x}g(t)dt}

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace complet 08-05-07 à 13:21

mais on montre que f est C1 en montant que (f'n) CVU vers g?
on se sert du théoreme pour conclure...
ahh oué ok d'accord,je crois que c'est bon j'ai compris!
Merci encore Kaiser!

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace complet 08-05-07 à 13:23

c'est bien ça !

Kaiser

Posté par
Roulianere : Espace complet 08-05-07 à 14:11

Merci à Robby pour la question, je savais pas que la démo était si courte pour montrer ce théorème là !

Posté par
Roulianere : Espace complet 08-05-07 à 14:14

et merci à kaiser pour la démo bien sur !

Posté par
robby3re : Espace complet 08-05-07 à 14:17

Merci à toi pour l'exercice surtout,il était pas mal!

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