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Espace complet
Bonsoir,
J'ai besoin d'un peu d'aide pour cet exo qui me semble trivial :
Soit , muni de la norme
=Max{
,
}.
J'ai du déjà montrer que c'est bien une norme, ça c'est ok.
Par contre je n'arrive pas à montrer que E est complet.
Je dois montrer que toute suite de Cauchy converge.
Je considère la suite de Cauchy () , c'est à dire :
,
N, ,
.
Mais je n'ai aucune idée de la façon de montrer que cette suite converge.
Il faudrait déjà "bien" choisir la suite (fn), mais je ne sais comment.
Merci d'avance de votre aide 
Bonsoir Rouliane
Pourquoi veux-tu choisir cette suite ?
Il faut montrer le résultat pour toute suite.
Sinon, utilise le fait que l'ensemble des fonctions continues muni de la norme sup est complet.
Kaiser
Salut Kaiser 
Merci, effectivement, c'est idiot ce que j'ai dit.
Je ne peux pas le montrer sans utiliser le résultat que tu me cites ?
Je ne peux pas le montrer sans utiliser le résultat que tu me cites ?
sans cela, ça reviendrait à le redémontrer.
mais bon, j'ai dit d'utiliser la complétude de cet ensemble mais je n'ai pas dit que ça réglait le problème immédiatement (même ce résultat acquis, il faut encore un peu bosser
)
Kaiser
Merci.
Je me suis renseigné un peu, donc si j'ai bien compris, il faut que je définisse d'abord ce qui va etre la limite.
Est ce que je peux dire que donc
est une suite de Cauchy dans R, qui est complet, donc on peut noter
la limite de
dans R.
On a ainsi définit ce qui sera la limite.
C'est juste ou pas ?
Tu veux donc redémontrer le fait que l'ensemble des fonctions continues muni de la norme sup est complet ou alors tu acceptes ce résultat ?
Kaiser
Ben pour l'instant, j'essaye de comprendre la méthode qu'il faut suivre qui a l'air d'etre toujours la même, donc pour l'instant, pour définir ce qui va etre la limite, j'ai uniquement utilisé le fait que R est complet, non ?
Ok, merci.
En fait j'ai trouvé une feuille sur le net qui parle de ça et en gros il faut :
1) définir la limite
2) Montrer qu'elle appartient à E
3) Montrer la convergence de la suite vers la limite
Je vais essayer de faire le 2 et 3, mais je comprends pas comment, en montrant le 1) j'ai bien défini la limite alors que j'ai montré la convergence dans R.
C'est la suite qui va nous permettre de faire le "lien" entre R et E ?
Je vais essayer de faire le 2 et 3, mais je comprends pas comment, en montrant le 1) j'ai bien défini la limite alors que j'ai montré la convergence dans R.
En fait, si une suite de fonctions converge uniformément alors elle converge simplement et alors la limite simple et la limite uniforme sont égales.
Il est donc logique de prendre ça pour limite.
C'est la suite qui va nous permettre de faire le "lien" entre R et E ?
C'est le caractère "suite de Cauchy" qui va nous permettre de faire ça.
Kaiser
Je cherche 
Je dirais qu'on a , en faisant tendre q vers +oo, on en déduit que (f_n) converge uniformément vers f.
Mais j'arrive pas à montrer que f est C^1.
C'est ça !
Mais j'arrive pas à montrer que f est C^1.
Comme ça, tu auras du mal.
Il faut s'intéresser à autre chose.
Tu n'utilises qu'une partie de ce que tu sais : être de Cauchy pour cette norme fait intervenir autre chose.
Kaiser
Oui c'est possible !
a priori, avec le même raisonnement que précédemment tu sais que la suite des dérivées converge uniformément vers une fonction g dont on voudrait montrer que c'est f'.
reste à le montrer.
Kaiser
oui, bien sur, pardon !
Je croyais dans mes premiers messages.
Donc il me suffit de dire que puis en faisant tendre q vers +oo j'ai la convergence uniforme de (fn') vers une fonction g. C'est bien ça ?
ok, merci !
Reste à montrer que g=f'.
Mais ça on l'a directement par théorème il me semble. :
i) les (fn) convergent simplement vers f et sont de classe C^1.
ii) fn' converge uniformément vers une fonction g.
ALORS f est de classe C^1 et f'=g.
J'ai juste à faire ça, non ?
Ok, merci pour la précision.
J'ai donc définit la limite, et montré que cette limite est de classe C^1.
Il me reste à montrer la convergence, pour la norme définie, vers f.
Ben il ne me reste qu'à passer à la limite, quand q tend vers +oo, dans l'inégalité suivante : ( qui vient du fait que (fn) est une suite de Cauchy ) .
On a donc, pour tout ,
Donc est une suite de Cuachy qui converge pour la norme définie plus haut, donc E est complet.
C'est bien ça ?
Oui c'est correct mais tu peux directement dire que la suite converge dans l'espace en question en remarquant que
Kaiser
Salut Cauchy
Kaiser ou Cauchy, auriez-vous un exercice du même style ( montrer qu'un espace est complet), et utilisant la même méthode, afin que je m'entraine un peu
Tu veux donc redémontrer le fait que l'ensemble des fonctions continues muni de la norme sup est complet
Vous l'avez fait?
Vous l'avez fait?
Je me rends compte qu'on ne l'a pas vraiment fait : il reste à montrer que la limite simple est continue.
Kaiser
si on n'utilisait pas le résultat selon lequel l'ensemble des fonctions continues muni de la norme sup est complet alors oui, il fallait le démontrer.
Kaiser
Pour montrer par exemple que la suite des dérivées convergent uniformément vers une fonction continue.
Kaiser
ah ok d'accord !
Pour montrer que l'ensemble des fonctions continues muni de la norme sup est complet, je considère une suite de Cauchy (fn).
1°) définissons cette limite : donc (fn) converge car R est complet. Notons f cette limite.
2°) Montrer que f appartient à notre ensemble : en passant à la limite quand m tends vers + infini dans l'inégalité précédente, on a que (fn) CVU vers f.
Or les fn sont continues donc f est continue.
3°) On a . Donc en passant à la limite quand m tend vers +oo, fn converge vers f pour la norme sup.
C'est justement là le problème : pour montrer qu'une limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue, on utilise la complétude de l'ensemble des fonctions continues mais là, pour montrer cette complétude tu utilise le fait qu'une limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue et ça c'est louche.
Kaiser
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