Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre TopologieTopics traitant de topologie [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau autre
Partager :

Espace de Banach

Posté par
H_aldnoer 26-03-07 à 23:21

Bonsoir,
je bloque sur cette exercice :
Soit (E,||.||) un espace normé.
Soit p:E\to E un projecteur continu c'est à dire pop=p.
On note Ker(p)=\{x,\,p(x)=0\} et Im(p)=p(E).
Montrer que E est de Banach ssi Ker(p) et Im(p) sont de Banach


une petite aide svp!

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:24

Bonsoir H_aldnoer

Le sens gauche-droite est relativement simple à montrer. En effet, étant donné qu'ils sont inclus dans un espace de Banach, que suffit-il de vérifier pour que Ker(p) et Im(p) soient de Banach ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 26-03-07 à 23:28

Bonsoir Kaiser!

Je peux répondre?

Posté par
H_aldnoerre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:28

j'ai pas d'idée ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:29

robby > je t'en prie !

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 26-03-07 à 23:30

Faut montrer qu'ils sont fermmés??

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:31

toutafé robby !

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 26-03-07 à 23:31

(et ils le sont par image ou image réciproque...c'est la meme de fermés...E et {0}...)

Posté par
H_aldnoerre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:32

et pourquoi donc ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:34

OK pour le coup de l'image réciproque mais pas pour le coup de l'image tout court (l'image d'un fermé par une application continue n'est en général pas un fermé. exemple : la fonction arctan ).


Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 26-03-07 à 23:35

parce que si tu prend une suite de Cauchy dans le fermé,comme elle est dans le fermé qui est inclus dans E(de banach), ta suite converge dans E or ya le fermé donc par caractérisatuion du fermé,la limite est dedans...sauf erreur.

Posté par
H_aldnoerre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:36

j'ai toujours pas saisi pourquoi il suffit de montrer qu'ils sont fermés ?
Peutêtre que l'image d'un fermé par une application linéaire continu est un fermé ??

Posté par
robby3re : Espace de Banach 26-03-07 à 23:37

oui oui Kaiser,mais ici,l'image réciproque c'est pas la meme que l'image tout court?...ah non désolé j'ai mal lu!
Autant pour moi!
j'avais cru une involution...p o p=Id mais la c'est p o p=p...désolé!

Posté par
H_aldnoerre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:37

Okkkkkk

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:39

robby > oui, ce que tu dis dans ton message de 23h35 est correct.

Haldnoer > même avec la linéarité, ça ne marche pas forcément.
En fait, il faut se souvenir d'une caractérisation des éléments de l'image d'un projecteur.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:42

p(p(x))=p(x) implique que p(p(x)-x)=0 on appele g la fonction telle que g(x)=p(p(x)-x) ca marche pas ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:43

mais g est tout le temps nulle !

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:45

p(x) est dans le noyau de p(x) ?

Posté par
robby3re : Espace de Banach 26-03-07 à 23:46

(euhh sinon pour l'autre sens,on sert bien du fait que E=Ker(p) (+) Im(p) Non? )

Posté par
robby3re : Espace de Banach 26-03-07 à 23:47

(tu veux dire p(x) dans le noyau de p...et p(p(x))=p(x) non?..)

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:47

Citation :
p(x) est dans le noyau de p(x) ?


euh..j'ai pas compris !

robby > il me semble bien que oui.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:49

en faite c'est p(x)-x qui est dans le noyau de p mais ca nous sert pas je pense ...

Posté par
robby3re : Espace de Banach 26-03-07 à 23:50

(euhh j'ai un peu de mal je crois à faire la suite,est ce que si je prend une suite de Cauchy dans E, elle se décompose en deux suite de Cauchy ,l'une dans  Ker(p) et l'autre dans Im(p)...?)

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:50

je vais te redire la même chose que tout à l'heure, à savoir :

Citation :
En fait, il faut se souvenir d'une caractérisation des éléments de l'image d'un projecteur.


Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 26-03-07 à 23:51

( en faite est-ce que la somme de 2suites de Cauchy est une suite de Cauchy...{je suis presque sur que non mais bon..}??)

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:52

robby > si, c'est vrai. Il suffit de revenir à la définition.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:53

mais sinon on prend une suite qui converge dans im(p) et on montre sa limite encore dans im(p) ?

soit (xn) convergent vers x dans im(p) :
p(p(xn))=p(xn)

puisque xn converge vers x et que p continue, p(xn) converge vers p(x) d'ou p(p(xn)) converge vers p(p(x)) qui vaut par définition p(x) non ?

Posté par
robby3re : Espace de Banach 26-03-07 à 23:54

(ahh ok bah pour ue fois qu'un truc m'arrange!!...donc si je prens Un de Cauchy dans E,Un=xn+yn ou xn est de Cauchy dans Ker(p) donc convergente vers x et yn de Cauchy dans Im(p) donc convergente vers y car im(p) de banach...d'ou un->x+y...sauf erreur non?...et donc E complet?)

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:55

Citation :
mais sinon on prend une suite qui converge dans im(p) et on montre sa limite encore dans im(p) ?


là, tu es train de supposer ce que tu veux démontrer, non ?

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 26-03-07 à 23:56

(euhh en faite ici x vaut 0 car x est dans Ker(p)...)

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:56

robby > il faut supposer que \Large{(u_{n})} est de Cauchy pas qu'elle s'écrit comme la somme de deux suites de Cauchy.

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 26-03-07 à 23:58

euhh oui Un de Cauchy dans E(=Ker(p)+Im(p)) non?
Donc Un=Xn+Yn non?

Posté par
H_aldnoerre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:58

pour montrer que c'est fermé en général avec les suites ?
on prend une suite du dit espace convergente vers une certaine limite non ?
il faut que cette limite soit encore dans l'espace en question, isn't it ??

j'crois que j'ai dit quelque chose que je n'ai pas fait!
(xn) convergent vers x et (xn) dans im(p) !
on a donc p(p(xn))=p(xn)

mais xn converge vers x donc comme p continue, p(xn) converge vers p(x) d'ou p(p(xn)) converge vers p(p(x))=p(x)

donc la limite x est bien dans im(p) ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 26-03-07 à 23:59

oui mais pourquoi \Large{(x_{n})} et \Large{(y_{n})} sont de Cauchy ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 27-03-07 à 00:01

Citation :
mais xn converge vers x donc comme p continue, p(xn) converge vers p(x) d'ou p(p(xn)) converge vers p(p(x))=p(x)

donc la limite x est bien dans im(p) ??


je ne vois pas en quoi car cette relation est vérifiée pour tout x et pas seulement lorsque x est dans l'image.

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 27-03-07 à 00:01

parce que ça m'arrangeait bien!!

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 27-03-07 à 00:02

robby > ça se démontre !

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 27-03-07 à 00:04

ohhh non!

mais sinon on peut pas utiliser le fait que Ker(p) et Im(p) soient fermés...(on utilise la caractérisation des fermés ensuite...et on a ce qu'on veut...)

Posté par
H_aldnoerre : Espace de Banach 27-03-07 à 00:04

non je vois pas alors ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 27-03-07 à 00:07

robby > essaie de montrer que si \Large{(u_{n})} est de cauchy, alors \Large{(p(u_{n}))} aussi.

H_aldnoer > la caractérisation dont je te parlais est qu'un élément x est dans l'image de p si et seulement si p(x)=x.

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 27-03-07 à 00:10

(pourtant j'étais bien convaincu par ma méthode des fermés...

Si un est de Cauchy,p(un)est dans Im(p),pcontinue donc p(un) de Cauchy ?

Posté par
H_aldnoerre : Espace de Banach 27-03-07 à 00:10

pourquoi ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 27-03-07 à 00:14

robby> en général, la continuité ne suffit pas. Ici, ça va marcher mais il faut préciser pourquoi.

H_aldnoer > supposons que x est dans l'image de p, alors x=p(x') pour un certain x', alors p(x)=p(p(x'))=p(x')=x.

Réciproquement, soit x tel que p(x)=x, alors x est clairement dans l'image dep.

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 27-03-07 à 00:16

?? il faut que je montre pourquoi p est continue??

(Im(p) de banach...)

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 27-03-07 à 00:21

Citation :
?? il faut que je montre pourquoi p est continue??


non, puisqu'on le suppose.
Ce que je voulais dire c'était que si f est une fonction continue et \Large{(u_{n)} est une suite de Cauchy, alors la suite \Large{(f(u_{n))} n'est pas forcément de Cauchy.
Cela est vrai si f est uniformément continue par exemple.

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 27-03-07 à 00:23

(bon désolé,j'abdique,je verrais ça demain peut-etre...je vais en topo demain H_aldnoer...donc bonne nuit à tout les deux et à demain.)
faudrait que je montre que p est uniformément continue...je pense pas que j'y arriverais!!

sinon pourquoi mon idée des fermés et la caractérisation ça marche pas?

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 27-03-07 à 00:27

Citation :
faudrait que je montre que p est uniformément continue...je pense pas que j'y arriverais!!


en fait, pas besoin de revenir à la définition. Il faut se souvenir des caractérisation des applications linéaires continues.

Citation :
sinon pourquoi mon idée des fermés et la caractérisation ça marche pas?


Au départ, il faut partir d'ue suite de Cauchy quelconque.

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 27-03-07 à 00:34

bon ok,
j'insiste un ti peu et je vais pieuter...

Soit Un de Cauchy quelconque dans E,
E=Ker(p)(+)Im(p) donc Un=xn+yn ou xn dans Ker(p),yndans Im(p).

Ker(p) fermé donc xn->x et x dans Ker(p)
Im(p) fermé donc yn->y et y dans Im(p)

d'ou par passage à la limite Un->x+y non??

(sinon une idée me vient,tout evn de dimension finie est complet c'est le cas de E ici non?...

Pour démontrer que Tout evn de dim finie est complet,je prend xn de Cauchy dans l'evn,xn borné donc contenu dans une boule qui est compact d'ou xn->x et x dans la boule d'ou x dans l'evn ...)

je reviendrais voir la réponse demain soir.
Merci encore de ton aide si précieuse Kaiser.Et bonne fin de soirée.

Posté par
kaiser Moderateurre : Espace de Banach 27-03-07 à 00:36

robby > c'est toujours le même problème : tu n'as pas montré que les suites \Large{(x_{n})} et \Large{(y_{n})} sont de Cauchy.

Sinon, comme ta suite est bornée, a priori elle ne converge pas mais on a uniquement la convergence d'une sous-suite.

Kaiser

Posté par
robby3re : Espace de Banach 27-03-07 à 00:39

(exact pour la sous-suite!!)
pourquoi le montrer? puisqu'on s'en sert pas!! pour dire que ça converge dans les espaces Ker(p) et Im(p) je me sert de la caractérisation des fermés!!
le but c'est de montrer que Un converge dans E...(por la norme bien entendu)
bon la j'y vais vraiment je m'en excuse.

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !