Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre TopologieTopics traitant de topologie [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau autre
Partager :

espace de banach/complet

Posté par
robby3 16-02-07 à 19:10

Bonjour à tous,j'aurais besoin d'un coup de main pour montrer que des espaces  sont de banach et/ou complet,voici le sujet(il est long,mais je pense avoir fait une bonne partie):

1.Soient ai,bi,1in des nombres réels positifs;et deux réels p et q de ]1,[ vérifiant 1/p+1/q=1.Montrer que:
\rm \sum_{i=1}^n a_i b_i\le(\sum_{i=1}^n (a_i)^p)^{\frac{1}{p}}.(\sum_{i=1}^n (b_i)^q)^{\frac{1}{q}},en deduire que

(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p)^{\frac{1}{p}}\le (\sum_{i=1}^n (a_i)^p)^{\frac{1}{p}}+\sum_{i=1}^n (b_i)^p)^{\frac{1}{p}} (ça c'est fait)

2.Pour p\rm \in [1,+\infty[,on note l^p(\mathbb{C}) l'espace vectoriel sur C des suites \rm (x_n)_nde nombre complexes telles que:

(\sum_{i=1}^n |x_n|^p)^{\frac{1}{p}} < +\infty

a)Montrer que l'application \rm (x_n)_n->||(x_n)_n||_p=(\sum_{n=0}^{+ \infty}|x_n|^p)^{\frac{1}{p}}est une norme sur l^p(\mathbb{C}).(ça c'est fait)

b)Montrer que l^p(\mathbb{C}) muni de cette norme est un espace de banach(la je sais pas faire,on a vu que la définition en cours avec les suites de Cauchy convergentes)
3.On note l^{\infty}(\mathbb{C})(resp c_0(\mathbb{C})l'espace vectoriel des suites (x_n)_n de nombres complexes telles que :
Sup_n |x_n| <+\infty.
a)Montrer que \rm (x_n)_n->||(x_n)_n||_{\infty}=sup_n |x_n| est une norme sur l^{\infty}(\mathbb{C}) (ça c'est fait).

b)Montrer que,muni de cette norme sur l^{\infty}(\mathbb{C}) est complet et que c_0(\mathbb{C})est un sous espace fermé de l^{\infty}(\mathbb{C}).(le non plus je sais pas faire.
Voila tout le sujet,j'espere que vous aller pouvoir m'aider.
Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider.

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 19:18

Bonsoir robby3

Il me semble que l'on a pas le choix : on doit prendre une suite de suites qui est de Cauchy.

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 19:24

Salut Kaiser,une suite de Cauchy quelconque??(je te préviens je ne suis vraiment pas du tout à l'aise avec les suites de Cauchy...)
On choisit quoi comme suite de Cauchy??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 19:25

comme tu dis : quelconque !
En effet, pour que cet espace soit un Banach, il faut que toute suite de Cauchy Converge.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : espace de banach/complet 16-02-07 à 19:33

Utilise le théoreme de Riesz avec la mesure de comptage. Je sors

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 19:34

Bon, je t'aide un peu :

Soit \Large{(x^{k})} une suite de cauchy.
Pour k fixé, on a donc une suite \Large{(x_{n}^{k})_{n}} telle que \Large{(\bigsum_{n=1}^{+\infty}|x_{n}^{k}|^p)^{\frac{1}{p}} < +\infty}

Par ailleurs, comme cette suite est de Cauchy, alors il existe une suite positive \Large{\Large{a_{k}}} qui tend vers 0 lorsque k tend vers l'infini et qui vérifie en plus que \Large{||x^{k+q}-x_{k}||_{p}\leq a_{k}}
Jusque là, tout est OK ?

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 19:34

Donc si je comprend bien,je prend pas un exemple mais une suite de Cauchy générale...Donc:
\rm Sot (x_n)_n une suite de Cauchy:pour tout e>0,il existe N,n,m tel que:m,n \ge Nimplique:
\rm ||(x_n)-(x_m)||<e...Aprés on fait quoi lol??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 19:34

Cauchy >

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 19:36

oups dsl j'avais pas vu,Salut Cauchy(je connais pas le theorme de Riesz...)
Kaiser, oui ok c'est bon jusque la(mais pourquoi choisir une suite positive ak au lieu d'un epsilon positif...??)

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 19:38

robby3 > pour ma part, je pense que c'est plus commode de manipuler des suites que des epsilons.

Je dois aller manger mais je reviens tout à l'heure !

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 19:40

ok Kaiser,comme tu veux pour les suites lol,et bon appétit,moi aussi je vais manger,je serais certainement la aprés aussi...A tout à l'heure peut-etre.

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 20:39

C'est bon, je suis de retour !
Alors, vois-tu comment continuer ?

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 20:43

Re, eh bien lorsqu'on fait tendre k vers l'infini on a la suite de départ qui tend vers x_k non?

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 20:45

Au temps pour moi, je me suis gourré !
J'ai mal écrit mon inégalité. Je voulais écrire :
\Large{||x^{k+q}-x^{k}||_{p}\leq%20a_{k}}

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 20:51

ahh ok,bon...bon je vois pas grand chose,on remplace les ||.||p par (\sum_{n=0}^{\infty} |x_n|^p)^{\frac{1}{p}}...??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 20:55

oui !
Ensuite, on va chercher un candidat pour notre la limite de notre suite de suites.
A-t-on avis, vers quoi pourrais tendre cette suite de suite ?

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 20:59

lol attend 2secondes,j'ai pas tout compris ce que t'a marqué...,voila ce que j'ai:

(\sum_{n=0}^{\infty} |x^{k+p}-x^k|^p)^{\frac{1}{p}}<a_k...aprés,on cherche un candidat de quoi??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:03

on veut montrer que notre de suite de Cauchy \Large{(x^{k})} converge dans \Large{l^p(\mathbb{C})}, donc on cherche un candidat qui serait la limite de cette suite.

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:07

euhh oui,mais je vois pas vraiment comment on détermine un "candidat" à la limite de cette suite "comme ça"...moi perso,j'aurais bien envie que ça tende vers 0 lol comme ça mais bon...je sais pas??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:09

Je n'ai pas dit qu'on allait le déterminer "comme ça" !

Fixons un entier naturel n.
Que peux-tu dire de la suite réelle \Large{(x_{n}^{k})_{k\in \mathbb{N}}}

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:14

C'est une suite de Cauchy dans R?? Et Comme R est complet cette suite converge dans R...c'est ça??!!

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:16

C'est bien ça !

C'est une suite de Cauchy (tu vois pourquoi ?) et donc elle converge vers un certain \Large{x_{n}}.

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:22

pourquoi elle est de Cauchy,lol,je ne le vois pas beaucoup,je le sens lol...Si on "enleve la somme et qu'on rajoute des indices m,n alors on par définition une suite de Cauchy non?...et oui donc elle converge vers x_n(mais dans R...donc dans C aussi?)...on a donc |x_n ^k -x_n|->0cad |x_n ^k -x_n|<a_k...mais aprés??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:26

oula qu'est-ce que j'ai dit : ta suite de cauchy est complexe donc c'est une suite de Cauchy de \Large{\mathbb{C}}, donc elle converge dans \Large{\mathbb{C}}.

Par contre, j'ai peur de ne pas très bien avoir compris ton raisonnement pour montrer que cette suite complexe est bien de Cauchy.

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:29

ok on est d'accord qu'elle est de Cauchy dans C.
Ce que je voulais dire c'est ça:
|x_n ^{k+p} - x_m ^k|<a_k pour tout n,m>N un entier naturel...mais sinon je sais pas

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:31

pourquoi tu as deux indices différents ? Justement, on veut que ce soit le même.
Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:32

?? c'est pas ça quand une suite est de Cauchy,il y deux indices m et n non??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:35

Le paramètre de ta suite c'est k, pas n. En effet, la suite complexe dont on veut montrer qu'elle de cauchy est \Large{(x_{n}^{k})_{k\in%20\mathbb{N}}}.
Donc, il faudrait, plutôt montrer que \Large{|x_{n}^{k+p}-x_{n}^{k}|\leq a_k}

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:44

ahh oui d'accord,autant pour moi...donc comme on a l'inégalité de 20h59...on a en particulier cette inégalité la que tu viens d'écrire...Ensuite si on note x_nla limite de x_n ^k,on apour toute suite a_k>0\sum_{n=0}^{\infty} |x_n ^k-x_n|=||x_n ^k -x_n||_p <a_kpuis x_n ^k ->x_n pour ||.||_p...je suis bon la ou pas du tout??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:51

Citation :
donc comme on a l'inégalité de 20h59...on a en particulier cette inégalité la que tu viens d'écrire

C'est bien ça. Pour s'en convaincre, il faut minorer la somme infinie par son terme d'ordre n.

sinon, pour la suite du raisonnement, n'oublie pas que pour la norme, il y a une puissance p.

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:53

ahh ok,oui c'est vrai la puissance p mais sinon c'est juste??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 21:56

on ne peut pas encore conclure car ce n'est pas parce que chaque terme tend vers 0 que la somme infinie tend vers 0.
Il y a un raisonnement derrière.

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 22:01

ahh ok,bon bah,je seche la..."un raisonnement derriere"...chacune des différences est inférieur à a_k alors est-ce que l'on a:
\rm ||x_n ^k-x_n||_p< \sum_{k=0}^n a_k...non? c'est un truc comme ça ou pas du tout?

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 22:11

non car le truc de droite, n se pas s'il tend vers 0.
Je te propose ceci !
Essaie dans un premier temps de majorer \Large{||x^{k}-x||_{p}} en utilisant l'inégalité triangulaire ainsi que la suite \Large{x^{k+q}} avec q un entier quelconque.

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 16-02-07 à 22:16

ok,bon je souffle un bon coup...bon l'inégalité triangulaire:
\rm ||x^k-x||_p \le ||x^k||_p+||x||_pc'est ça??
pour \rm x^{k+q},on a: ||x^{k+q}-x^k|| \le ||x^{k+q}||+||x^k||...??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 16-02-07 à 22:18

c'est trop brutal comme majoration. Il faut majorer par des truc qui sont sensé tendre vers 0.

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 17-02-07 à 11:50

Salut Kaiser,et mille excuse pour hier soir,mon ordinateur ou plutot ma connexion à internet a eu un probleme de serveur proxy...(je sais pas du tout ce que c'est mais de ce fait,impossible de me reconnecter...).Je m'en excuse.

Je tente de reprendre le fil de l'exercice:tu m'a dis d'utiliser l'inégalité triangulaire...c'est pas ce que j'ai fais?Sinon est ce qu'on peut ecrire ça:
\rm ||x^k -x||_p \le a_k+a_1 ??

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 17-02-07 à 12:12

Hum non je crois pas que ça marche parce que a1...on sait rien...bah la franchement je vois pas comment on fait...une idée peut-etre??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 17-02-07 à 12:19

Salut robby3

Pas de problème pour hier.
En fait, je te conseillais plutôt d'écrire \Large{x^{k}-x=(x^{k}-x^{k+q})+(x^{k+q}-x)} et ensuite là, tu utilises l'inégalité triangulaire.

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 17-02-07 à 12:25

ahh ok d'accord,bon je réécris cela:
||x^k-x||_p =||x^k-x^{k+q}+x^{k+q}-x||_p \le ||x^k-x^{k+q}||_p+||x^{k+q}-x||_p \le a_k+||x^{k+q}-x||_pEt lorsque k->oo on a que:

\rm a_k+||x^{k+q}-x||_p->0+x cad x...c'est ca??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 17-02-07 à 12:26

Justement, on voudrait que le terme de droite tend vers 0.

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 17-02-07 à 12:31

ahh bon bon lol,ahh mais j'ai commis une petite erreur la...\rm ||x^{k+q}-x||_p ->0 non??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 17-02-07 à 13:02

Justement, c'est ça qu'il faut montrer.
Ce n'est pas tout à fait immédiat.

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 17-02-07 à 13:15

ok(je m'excuse encore mais je devoir m'absenter,je reviendrais dimanche soir lol)...
mais en fait on a que ||x^{k+q}-x^k||_p \le a_kdonc en particulier on a ||x^{k+q}-x||_p \le a_kD'ou lorsque k->oo on a bien ce que j'ai écrit précedemment non??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 17-02-07 à 13:40

a priori \Large{x^{k}} et x n'ont aucun rapport, donc cette inégalité n'est pas forcément vérifiée.
à demain !

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 18-02-07 à 21:03

Re Kaiser,bon bah alors la je sais pas comment faire lol,je pensasiq ue j'étais pas loin la mais bon,visiblement non ...j'espere une petite piste...parce que la???

Posté par
kaiser Moderateurre : espace de banach/complet 18-02-07 à 21:51

Salut robby3

Je cherche !

Kaiser

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 18-02-07 à 21:55

ok moi aussi...mais la j'avoue je suis à sec d'idée...

Posté par
robby3re : espace de banach/complet 18-02-07 à 22:05

euhh en cherchant un peu sur le net pour des exercices imilaire au mien j'ai trouver un truc ou j'ai pas pigé grand chose,mais je te donne le lien en espérant que tu m'aide à en tirer un truc de bon lol

Posté par
Cauchyre : espace de banach/complet 18-02-07 à 22:07

Il permet de justifier mon premier message

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !