Bonjour,
pourriez vous, svp, m'aider pour ces exos ?
Exo 1 :
On se place dans l'espace euclidien canonique R^3 et on considère un point A de coordonnées (0, acos teta, asin teta) où a > 0 et 0<=teta<=pi/2 sont donnés.
On considère le cône (C) formé par toutes les droites passant par A et dont la direction fait un angle de pi/4 avec OA (en vecteur).
a) Ecrire une équation caractérisant les points du cône (C).
b) On coupe (C) par le plan horizontal (Q) d'équation z = 0. Décrire la courbe intersection de (C) avec (Q). Discuter sa nature suivant les valeurs de teta.
Exo 2 :
Dans l'espace euclidien canonique R^3 on considère les 2 cylindres (Cyl1) et (Cyl2) de directions respectives les vecteurs j et k de la base canonique et passant respectivement par les cercles (C1) d'équations (y = 0 ; x² + z² =1) et (C2) d'équations (z=0 ; x² + y² = 1).
1) Ecrire les équations de (Cyl1) et (Cyl2).
2) Montrer que leur intersection est la réunion de deux courbes planes que l'on décrira.
Voilà ,
merci d'avance
A+
Pour tout point M, la droite (AM) et la droite (OA) forment un angle (non orienté) de : tu le traduis par un produit scalaire.
Il y a des valeurs absolues autour du produit scalaire pour exprimer que l'angle est entre deux droites non orientées (en gros, l'angle entre les vecteurs et peut être ou )
Tu élèves au carré et tu simplifies l'expression.
Bonne chance et surtout, ne pas faire d'erreurs de calculs.
Quand z=0, tu te retrouves avec une conique dans le plan xOy. Suivant , tu trouveras, je pense, ellipse, cercle, parabole ou hyperbole.
Pour l'exo 2, l'équation de Cyl1 est x²+z²=1, tout simplement. Idem pour Cyl2.
Les deux courbes planes que tu cherches sont deux ellipses de centre O, dans les plans d'équations cartésiennes z=y et z=-y.
Peut-être qu'une petite rotation te permettra de mieux les mettre en évidence.
Bonjour Aurélie
Ex 1
(AO) est la hauteur du cône, donc ses cercles de base sont dans des plans
orthogonaux à (AO).Le demi-angle au sommet (le sommet est A) vaut pi/4:
c'est l'angle entre (AO) et l'une quelconque des génératrices du cône.
Soit (P) le plan orthogonal à (AO) passant par O et (C) le cercle-intersection
du cône avec (P).O est son centre car la condition angulaire de l'énoncé
entraîne que c'est un cône de révolution.
Si r est le rayon de ce cercle, on a r=AO.tan(pi/4)=AO=a.
Le cône cherché est l'ensemble des points M de l'espace tels que:
soit
où on a appelé H le projeté orthogonal de M sur (AO).
Il ne te reste plus qu'à déterminer les coordonnées de H par rapport à celles
de M, puis à utiliser (*) pour en déduire son équation cartésienne.
Le b) sera facile dès que tu auras cette équation
Ex 2
Un cylindre est l'ensemble des points M tels que
où H projeté de M sur l'axe du cylindre.
Bonjour dhalte
Désolé de ne pas t'avor salué avant, j'ai dû partir en catastrophe!
Ta méthode m'a l'air plus simple que la mienne.
Bonsoir,
désolée de n'être pas intervenue plus tôt...j'étais en cours cet aprem...
Merci beaucoup pour votre aide.
Bonne soirée (si jamais j'ai un p'tit problème, je viendrai demander conseil)
Aurélie
Rebonsoir,
j'ai calculé AM, OA, cos(pi/4) = (racine de 2)/2 pour l'expression du produit scalaire mais après je fais comment pour trouver l'équation caractérisant les points du cône (C) ?
Pour ma part je t'en prie.
Dhalte te proposait de calculer avec des coordonnées le produit scalaire du membre de gauche (par rapport à x,y et z, donc) et d'écrire que sa valeur absolue est égale à l'expression qui est à droite,elle aussi traduite par rapport à x,y,z.
oui, mais ça donne une grande expression quand même, je trouve ça "bizarre", enfin...
Dans le 2ième exo je ne comprends pas d'où il trouve les équations (j'ai essayé de prendre dans mon cours, l'équation d'un cylindre mais ça ne m'aide pas...)
Ah? Pour l'ex 1 la méthode de dhalte est plus simple je pense, et il y a sans doute des morceaux de calcul qui disparaissent.
C'est pour l'ex 2 que tu peux essayer d'appliquer ce que j'avais écrit.
je vais me coucher, car demain grosse journée de probas...et mes idées seront surement plus claires demain pour l'exo...
merci encore
A demain peut être alors
Bonne fin de soirée
Avec plaisir
Ce soir je risque de rentrer tard, mais poste si tu le souhaites et je répondrai.
Bonne soirée!
Bonsoir,
avec mon produit scalaire (j'avoue que les calculs sont lourds), j'obtiens l'équation
J'ai vérifié que le point A est bien sur cette surface et que dans le cas où , alors les points sont aussi sur ce cône.
Si maintenant z=0, alors l'équation devient :
si alors l'équation devient
c'est une parabole.
si alors le coefficient de est positif et c'est une hyperbole.
si alors le coefficient de est négatif et c'est une ellipse.
Cas particulier : , l'équation devient et c'est un couple de droites.
Cas particulier : , l'équation devient et c'est un cercle
Bonne lecture.
Bonsoir,
d'abord merci Tigweg pour ton aide...bonne soirée également
Merci aussi à toi Dhalte, par contre je ne trouve pas la même équation... bizarre...
Pour AM j'ai : AM = x² + (y - acos teta)² + (z- asin teta)² et AO = a² mais quand je développe tout je n'ai pas la même chose que toi...et le cos (pi/4) j'en fais quoi ?
Les deux cylindres ont respectivement pour équation :
Pour tout point M de coordonnées appartenant aux deux, on obtient immédiatement
c'est à dire
On voit que ces intersections sont dans les plans contenant l'axe Ox et bissecteurs des 4 dièdres formés par les plans xOy et xOz.
pour le cos je suis d'accord,
mais pourquoi je ne trouve pas la même équation...? lorsque j'ai AM et OA (j'ai calculé les coordonnées puis leurs distances en élevant au carré) je termine comment après ? je crois que je m'embrouille en fait...
oups, ce n'est pas si parfait que ça : il s'agit du carré de la distance :
rolalala...je suis totalement perdue.... comment faire le produit scalaire des 2 distances AM et OA ? Est ce que je pourrais avoir une petite indication encore sur la façon avec laquelle vous avez obtenu l'équation ?
Rhôôô, toi alors...
tu as les coordonnées, donc tu calcules facilement le membre de gauche. Et tu calcules aussi le membre de droite avec les distances. Le cosinus vaut (au signe près)
Pour les cylindres, sais-tu faire une rotation dans l'espace ?
Soit M de coordonnées
La rotation d'axe Ox, d'angle transforme les coordonnées du point M en les valeurs qui vérifient
si on cherche l'intersection vérifiant y=z, alors on voit que les nouvelles coordonnées vérifient
ce qui nous donne :
c'est une ellipse dans l'un des plans penchés.
Et si on cherche la solution lorsque y=-z, on obtient:
c'est une ellipse dans l'autre des plans penchés.
B1 c'est ce que je fais mais...je ne trouve toujours pas le résultat...
Pour : AM.OA = ya cos teta + za sin teta - a² (vecteurs AM et OA)
pour : AM² = x² + y² + z² + a² - 2ay cos teta - 2az sin teta (distance)
pour : OA² = a²
Après heu....
je pense que je vais abandonner...
Le produit scalaire, c'est ça !!!
On va noter
alors
et maintenant tu égales les deux membres (en les élevant au carré pour les raisons que j'ai déjà expliquées).
tu tripatouilles cette expression pour la rendre un peu plus présentable (c'est à dire exploitable) et tu obtiens ... ce que j'ai obtenu.
Pour les cylindres, j'avais terminé...
Ouf ! ça y est je viens de trouver mon erreur....une étourderie qui m'a pris beaucoup de temps certes...on mettra ça sur le compte de la fatigue...
Merci encore beaucoup beaucoup pour votre aide, vos explications qui étaient très claires.
Bonne soirée
Aurélie
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