Niveau Licence-pas de math

Espace L^p pour une fonction gaussienne

Posté par
rienkapte 22-10-22 à 21:37

Bonjour,
Pourriez-vous corriger ou me confirmer mes réponses à cette exercice s'il vous plaît :
Surtout la question 1 et la deuxième parti de la question 3

L'exercice :
"On considère la fonction gaussienne : $g_{\alpha} :R\rightarrow R : t\rightarrow g_{\alpha}(t):= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\alpha}e^{\frac{-t^{2}}{2\alpha^2}}$ avec $\alpha >0$

1) Montrer que la fonction $g_{\alpha}$ appartient à $L^p (R,dt)$ avec $p \in N^*$
2) Montrer que $\begin{Vmatrix} g_{\alpha} \end{Vmatrix}_1 =1$ où $\begin{Vmatrix} \end{Vmatrix}_1$ désigne la norme dans $L^1 (R,dt)$
3)Montrer que $g_\alpha \rightarrow 0$ pour $\alpha \rightarrow 0^+$ au sens de la convergence ponctuelle. Montrer que $g_\alpha \not{\rightarrow}0$ pour $\alpha \rightarrow 0^+$ au sens de la norme $\begin{Vmatrix} \end{Vmatrix}_1$ "

J'ai mis mes réponses en annexes en PDF sur latex

pdf
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Posté par re : Espace L^p pour une fonction gaussienne 23-10-22 à 09:37

salut

je ne pense pas qu'un corrigé en PDF soit accepté ...

je note a pour alpha

ensuite c'est du classique pour le calcul de cet intégrale et je n'ai pas vérifié tes calculs

mais si pour tout p et a > 0 tu trouves une valeur finie alors c'est que g appartient à L^p

3/ oui par croissance comparée on conclut que g converge simplement vers 0 mais ta démonstration est à revoir : il faut montrer que pour tout t dans R g(t) tend vers 0

mais un b apparait pour t = 0 e me semble-t-il ...

pour la deuxième partie de la question quand a --> 0 il faut certainement découper l'intervalle d'intégration R et travailler avec des

Posté par re : Espace L^p pour une fonction gaussienne 23-10-22 à 12:51

Pour la 1): il suffit de montrer que $g_\alpha$ est $L^1$ pour conclure, parce que pour tous réels $p\leqslant q\geqslant 1$ et pour tout $x$ réel, $\exp(-px) \geqslant \exp(-qx)$ .
Les constantes positives $\alpha$ et compagnie ne changeant rien et l'intégration se faisant sur $[0,\infty)$ , on est tout simplement ramené à montrer que $\int_0^\infty e^{-t^2}dt < \infty$ , ce qui est évident sans aucun calcul, en majorant l'inverse de l'exponentielle par 1 sur [0,1] et par la fonction inverse sur $[1,\infty)$ ...

Pour la 2): c'est seulement ici qu'il devient nécessaire d'introduire des coordonnées polaires comme tu l'as fait

Pour la 3): oui pour la partie en jaune, mais le reste est peu convaincant tel que tu l'écris, bien que correct dans l'absolu. D'abord il faut explicitement dire que tu fixes un t réel, et ensuite tu peux parler de croissances comparées en $\alpha$ si tu veux.
Pour faire comprendre au correcteur que tu as bien compris d'où ça sort, tu peux prendre le temps d'introduire $\beta = \dfrac{1}{\alpha}$ , puis écrire que pour tout $K>0$ on a $\dfrac{e^{-K/\alpha^2}}{\alpha} = \beta e^{-K\beta^2}$ et enfin utiliser les croissances comparées sur $\beta$ au lieu d'alpha, en $+\infty$ plutôt qu'en 0

Posté par re : Espace L^p pour une fonction gaussienne 23-10-22 à 12:53

Petite coquille: lire $p\geqslant q\geqslant 1$

Posté par re : Espace L^p pour une fonction gaussienne 23-10-22 à 12:56

Désolé triple post, en fait c'était bon parce que j'avais aussi écrit l'inégalité entre exponentielles à l'envers. Il aurait plutôt fallu écrire $1\leqslant p\leqslant q$ . Si une personne ayant les droits peut supprimer ces deux dernières interventions