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espace non complet
Bonsoir,
j'ai besoin de vous sur une question de topologie.
On considère la norme : E l'espace des fonctions polynomiales de ]-1,1[ dans R. on définit la norme sur E: ||f||=somme(n=0 à l'infini) |f(n)(0)|/n!
f(n) étant la dérivée nième de f.
On me demande de montrer que E n'est pas complet pour cette norme.
Est ce qu'il suffit de montrer qu'il existe une suite (fn) polynomiale qui soit de Cauchy alors que (fn) tend par exemple vers +oo?
j'ai choisis : fk(x) = k + somme(i=0..k)(x^k/k²)
Qu'en dites vous ?
Merci d'avance pour votre aide 
Bonjour karim
Une suite de Cauchy ne peut pas tendre vers +
Prends la suite
montre qu'elle est de Cauchy puis qu'elle ne peut pas tendre vers une fonction polynôme pour cette norme.
Ok je pense que c'est Bon: j'ai minoré la norme de la limite f -fn avec n> degré de f. merci Camelia
A noter qu'un evn ayant une base dénombrable (c'est le cas de E ici) n'est complet pour aucune norme (conséquence du théorème de Baire).
ThSQ >> c'est un théorème hors programme et ma question je l'ai rencontrée dans un problème, donc comme le dit Camélia il veulent une démo directe
>> Certes, mais c'est clair qu'ici ils attendent une démonstration directe!
Et tu l'as parfaitement donnée !
C'était juste une remarque culturelle, un résultat que je trouve intéressant. Pas la peine d'en faire un fromage ...
Bonjour
C'était juste une remarque culturelle, un résultat que je trouve intéressant.
Je confirme!
Je n'avais jamais réalisé cela, ni par conséquent que c'était une conséquence du Théorème de Baire.
Bonjour à tous
Jeanseb > Au cas où : si E possède une base dénombrable , alors en posant
pour tout n, on a
.
Pour tout n, est un espace vectoriel de dimension finie donc c'est une partie fermée de E.
Par ailleurs, comme E est de dimension infinie (il admet une base dénombrable), alors chaque est un sous-espace vectoriel distinct de E, donc est d'intérieur vide (voir ici
topologie).
Ainsi, on a écrit E comme une union dénombrable de fermés d'intérieur vide.
Comme E est complet, d'après le théorème de Baire, E est d'intérieur vide, ce qui est manifestement faux (car E est l'espace ambiant).
Kaiser
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