Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau Maths sup
Partager :

espace préhilbertien

Posté par matou (invité) 28-05-06 à 20:28



  Salut,

Voici un exercice sur lequel je bloque, merci de m'aider

Soit E un espace préhilbertien des fonctions continuezs sur l'intervalle [0,1] de , à valeur dans , muni du produit scalaire
<f,g>= 01f(t) [g(t) barre]dt
    [g(t) barre] est le conjugué de g(t)

on note F le s.e.v des fonction de E constitué des fonctions de classe C2 qui vérifient f(0)=f(1)=0

soit K:[0,1]*[0,1] tq K(x,y)=(x-1)y si xy                                     K(x,y)= x(y-1) si xy


a toute fonction f on associe la fonction Tf=g définie par
     Tf(x)=g(x)=01 K(x,y)f(y)dy


1) Montrer que l'on a défini un opérateur T sur E qui est linéaire et auto-adjoint
  Que peut-on dire, sans calcul, de ses valeurs propres et fonctions propres.

   Pour cette question, je suis à montrer que T est linéaire si xy. Mais je ne suis pas arrivé à montrer cela pour  xy et que l'opérateur T est auto-adjoint.
A mon avis, les valuers propres sont des réelles et les fonctions propres sont des fonctions réelles mais je ne suis pas sûr et je ne sais pas s'il faut donner plus de précision.


2) Montrer que pour toute fonction f de E; la fonction Tf=g appartient à F et vérifie g''(x)=f(x)
  En déduire que T esy une bijection de E sur F

Pour cette question pour la 1ère partie, je pense qu'il faut montrer que Tf(1)=Tf(0)=0. Là, j'arrive au calcul de 01yf(y) dy et je coince (j'ai essayé par IPP mais je sais pas la valeur de F(y) primitive de f).
Je n'arrive pas à prouver que g''(x)=f(x) et à montrer que T est une bijection.


3) Déterminons les valeurs propres et les fonctions propres de T
Montrer que si est une fonction propre de T pour la valeur propre (T=)
satisfait une équation différentielle à déterminer.
En déduire que les valeurs propres de T vérifient nécessairement =-1/(n22)
Déterminer les fonctions propres de T.

Pour cette question je ne suis pas arrivé à déterminé l'équation différentielle et par conséquent au reste de cette question.



                                         Merci d'avance, Au Revoir
                                                  MATH


Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 28-05-06 à 20:37

Bonjour matou

Je ne comprends pas quand tu dis :

Citation :
Pour cette question, je suis à montrer que T est linéaire si x\leqy


Pas besoin de distinguer les cas pour montrer la linéarité.

Kaiser

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 28-05-06 à 21:51


  Salut Kaiser,

Moi je ne suis arrivé à montrer une linéarité que pour K(x,y)=x(y-1)
Pour l'autre expression je n'y suis pas arrivé mais c'est peut être ma méthode qui n'est pas bonne.

                                            Merci d'avance, Au revoir
                                                     MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 28-05-06 à 23:07

La linéarité se fait par rapport à f et non par rapport à x.

Posté par matou (invité)espade préhilbertien 30-05-06 à 14:53



  Salut KAiser,

Pour la linéarité, j'y suis arrivé. Merci pour ton indication.
Pour montrer que l'opérateur est auto-adjoit, j'ai utilisé la définition avec le produit scalaire et j'ai essayé de montrer que <Tf(x),y> = <x,Tf(y)> mais je coince. Est ce la bonne méthode?


                                                Merci d'avance, Au revoir
                                                     MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 30-05-06 à 14:55

Bonjour matou

Oui, c'est bien comme ça qu'il faut faire. Pour avancer, il faut, entre autre, utiliser Fubini et remarquer que K(x,y)=K(y,x).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 30-05-06 à 15:02

Pour toi, x et y sont bien des fonctions, non ?
Je te conseille de prendre f et g pour ne pas confondre avec les variables x et y.

Posté par
ottore : espace préhilbertien 30-05-06 à 15:49

Ici plutôt que Fubini il serait plus judicieux d'utiliser Tonelli, mais c'est pour pinailler.
le théorème de Fubini est trop fort pour s'utiliser sur des fonctions continues (comme diraient certains, c'est utiliser le canon pour tuer une mouche)

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 30-05-06 à 15:53

Bonjour otto

Il me semble que Tonelli s'applique aux fonctions positives, non ?

Kaiser

Posté par
ottore : espace préhilbertien 30-05-06 à 16:21

Oui effectivement, mais ce n'est pas un problème, puisque l'on travaille sur un compact, donc à une translation prêt on retrouve le résultat.
C'est un truc que l'on fait souvent, sinon on énoncerait un millier de corollaires.
C'est par exemple le cas lorsque tu as une intégrale paramétrée, mettons de f(x,t)dt.
Si tu es dans les conditions du théorème de la convergence dominée (ce qui arrive assez souvent, notamment lorsque l'on veut montrer le théorème de Leibniz sur la dérivation sous le signe intégral) est ce que tu peux directement passer à la limite lorsque x tend vers xo sous le signe intégrale?
Non tu n'as pas le droit, parce que la CVD se fait dans le cas où la variable est discrète, mais tu peux facilement en déduire un corollaire ou la variable est réelle. Ce n'est plus vraiment le CVD mais ca s'en déduit.
Idem pour Fatou ou la convergence monotone ou tu te rends comptes que les hypothèses assez restrictives ne le sont pas tant que ca.
C'est un procédé classique en analyse et notamment dans les théorèmes taubériens.
A+

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 30-05-06 à 16:27

Juste une chose : pour toi, c'est quoi Fubini, parce pour moi, c'est quand je dois intervertir deux signes "intégrale" (et ce, que l'intégrande change de signe ou pas).

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 30-05-06 à 16:47


  Salut Kaiser,

mon problème est dans la deuxième partie de l'inégalité. Je ne vois pas comment exprimer [Tg barre].

                                                  merci d'avance, Au revoir
                                                          MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 30-05-06 à 16:49

Quelle inégalité ?

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 30-05-06 à 18:30


  OUPS DESOLE

          Je voulais dire égalité

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 30-05-06 à 18:41

On a :

\Large{<Tf,g>=\bigint_{0}^{1}(\bigint_{0}^{1}K(x,y)f(y)dy)\bar{g(x)}dx}.
On intègre des fonctions continues donc on ne pose pas de question (on peut intervertir les deux signes intégrales).
On a donc \Large{<Tf,g>=\bigint_{0}^{1}(\bigint_{0}^{1}K(x,y)f(y)\bar{g(x)}dx)dy}
K est une fonction à valeurs réelles et vérifie K(x,y)=K(y,x), d'où :
\Large{<Tf,g>=\bigint_{0}^{1}f(y)(\bigint_{0}^{1}\bar{K(y,x)g(x)}dx)dy=<f,Tg>}

Est-ce clair maintenant ?

kaiser

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 30-05-06 à 20:34



  Salut Kaiser,

Ma supposition sur le fait que T a des valeurs propres réelles car T est hermitienne (ou auto-adjoint) et par conséquent les fonctions propres sont des fonctions à valeurs réelles est-elle bonne ou faut il la préciser?

                                               Merci d'avance, Au revoir
                                                         MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 30-05-06 à 20:52

Comme T est auto-adjoint, les valeurs propres sont bien réelles, par contre en ce qui concerne les vecteurs propres, on ne peut pas dire que ces fonctions sont nécessairement à valeurs réelles puisque si f est vecteur propre, alors af est un vecteur propre pour tout complexe a.
Par contre, la seule chose qui me vient en tête est que des fonctions propres associées à des valeurs propres distinctes sont des vecteurs orthogonaux.

Kaiser

Posté par
ottore : espace préhilbertien 30-05-06 à 21:13

Le théorème de Fubini permet effectivement de permuter deux intégrales (au sens large), mais ca ne s'applique pas n'importe quand.
Il y'a plusieurs versions du théorème. La meilleure référence est le Rudin, jette z'y un oeil.
A+

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 31-05-06 à 20:04



   Salut,

  Pour la deuxième question, je tente de montrer que Tf(0)=Tf(1)=0 mais là dans les deux cas j'arrive au calcul de 01yf(y) dy et je bloque car je ne connais pas les valeurs de la primites de f en 0 et en 1.


                                               Merci d'avance, Au revoir
                                                       MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 31-05-06 à 20:31

Bonsoir matou

Je pense que tu t'es trompé(e) car on peut se rendre compte directement que c'est nul.
En effet, que vaut K(0,y) et K(1,y) pour tout y dans [0,1] ?

Kaiser

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 31-05-06 à 23:13



  Salut Kaiser,

  Tu as tout à fait raison, je m'étais trompé. Ca fait déjà 0.
  Pour le calcul de g''(x), j'ai un problème.
  En effet, je trouve g'(x)=01 f(y)dy et là si je dérive par rapport à x, je trouve 0.


                                                   Merci d'avance, Au revoir
                                                         MATH

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 01-06-06 à 09:30



   Salut,

  Pour déterminer g''(x), j'ai commencé par chercher g'(x) en faisant la dérivée partielle par rapport à x de K(x,y)f(y)dy et je trouve (je pense, c'est là où il y a peut être erreur) 01yf(y)dy.

                                                   Merci d'avance, Au revoir
                                                             MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 01-06-06 à 20:52

Bonjour matou

Avant de dériver, je te conseille d'abord de découper ton intégrale en 2 morceaux (un entre 0 et x et un entre x et 1).

Kaiser

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 01-06-06 à 23:51



  Salut Kaiser,

  pour g' je trouve; g'(x)=01xf(y)dy-0xf(y)dy
  et pour g''       g''(x)=01f(y)dy

Est ce que c'est juste? Puis je alors en déduire le résultat.

                                           Merci d'avance, Au revoir
                                                  MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 02-06-06 à 16:21

Bonjour matou

Il me semble que tu t'es trompé.
On a :

\Large{g(x)=\bigint_{0}^{x}K(x,y)f(y)dy + \bigint_{x}^{1}K(x,y)f(y)dy=\bigint_{0}^{x}x(y-1)f(y)dy+\bigint_{x}^{1}(x-1)yf(y)dy\\ =x\bigint_{0}^{x}(y-1)f(y)dy+(x-1)\bigint_{x}^{1}yf(y)dy}

Tu continues ?

Kaiser

Posté par Nico_78 (invité)re : espace préhilbertien 02-06-06 à 17:48


N'a t'on pas plutôt :

         x                          1
g(x)= y(x-1)f(y)dy + x(y-1)f(y)dy  ??
         0                          x
Nico

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 02-06-06 à 17:50

Au temps pour moi !

Posté par Nico_78 (invité)re : espace préhilbertien 02-06-06 à 17:57


Au vue des réponses ci dessus tu es tout excusé ... lol

Par contre je ne vois pas comment tu veux dériver ...

Nico

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 02-06-06 à 18:01

Citation :
Au vue des réponses ci dessus tu es tout excusé ... lol


Merci !

Citation :
Par contre je ne vois pas comment tu veux dériver ...


Il s'agit simplement de dériver à chaque fois le produit de 2 fonctions.
Autre chose : il faut savoir dériver une fonction du type \Large{x\mapsto \bigint_{a}^{x}f(t)dt}

Posté par Nico_78 (invité)re : espace préhilbertien 02-06-06 à 18:14


c'est  égal à (F(x)-F(a))' non ??

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 02-06-06 à 18:26

Plus précisément, la dérivée d'une telle fonction c'est f.

Posté par matou (invité)espace préhilbertein 02-06-06 à 21:14


  Salut,

  En appliquant le résultat de NICO_78, je trouve:
   g'(x)=x01f(y)dy-x1f(y)dy

  en dérivant cela d'après le résultat de Kaiser, on a:
     g''(x)=x(f(1)-f(0))-(f(1)-f(x))
     g''(x)=f(x)  car f(1)=f(0)=0
Ce qui le résultat attendu
         Est ce que la méthode est bonne? sionon comment l'améliorer?

                                           Merci d'avance, Au revoir
                                                    MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 02-06-06 à 22:23

En fait, je ne vois pas trop comment tu dérives.
Pour ma part, je trouve que \Large{g'(x)=\bigint_{0}^{x}yf(y)dy+\bigint_{x}^{1}(y-1)f(y)dy}
En dérivant une nouvelle fois, on trouve le résultat.
Plus précisément, \Large{g''(x)=xf(x)-(x-1)f(x)=f(x)}

Kaiser

P.S : on remarquera que lors de la dérivation de la seconde intégrale, le x étant sa première borne, un "moins" apparaît.

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 03-06-06 à 23:26



  Salut,

  Pour montrer que T est une bijection, je me doute qu'il faut utiliser les résultats trouvés dans la question mais je ne sais pas comment ni dans quel ordre. Merci de m'aider

                                              Merci d'avance, Au revoir
                                                      MATH

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 04-06-06 à 12:56



  Salut,

  Pour déterminer si T est une bijection, j'ai toujours des problèmes.
  De plus je n'arrive pas à déterminer l'équation différentiel vérifiée par dans la troisième question.


                                                  Merci d'avance, Au revoir
                                                            MATH

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 04-06-06 à 18:40



  Salut,

  Je n'arrive pas à démontrer que T est une bijection. Merci de m'aider

                                                Merci d'Avance, Au revoir
                                                          MATH

                                          

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 04-06-06 à 19:23

Bonjour matou

Considérons l'application linéaire D qui à une fonction f deux fois dérivable associe sa dérivée seconde.
Alors d'après ce qu'on a fait, on a pour toute f de F, \Large{(DoT)(f)=f}.
Il reste à calculer \Large{(ToD)(f)}.

Kaiser

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 04-06-06 à 21:24



  salut Kaiser,

  Pour (T°D) (f) je trouve que cela fait f
  Est ce correct, Peut on alors en déduire que T est une bijection?

                                            Merci d'avnce, Au revoir
                                                   MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 04-06-06 à 22:15

Effectivement, on peut en déduire directement que c'est une bijection car on a trouvé une application telle que \Large{ToD=DoT=id}.

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 04-06-06 à 22:58



   Salut Kaiser,

Merci pour ta grande aide pour cette question. Mais j'ai encore besoin de toi pour la question 3 car je ne vois pas du tout comment déterminer l'équation différentielle demandée.


                                            Merci d'avance, Au revoir
                                                    MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 04-06-06 à 23:00

Considère la relation \Large{T\varphi =\lambda \varphi} et ensuite dérive deux fois.

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 04-06-06 à 23:22



  Salut Kaiser,

  Je trouve les résultats suivants, je voudrais savoir si ils sont justes:

     T' +' T='
     T''+2T' '+ '' T''=''

en regroupant les expressions je trouve,
   ''-2T'²/(T-)=0


                                               Merci d'avance, Au revoir
                                                       MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 04-06-06 à 23:26

Tu ne peux pas écrire ça !
Tu es en train de dériver une application linéaire !!!
Quand on écrit \Large{T\varphi}, ça veut dire \Large{T(\varphi)} !

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 04-06-06 à 23:34

OUOPS ENCORE DESOLE

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 04-06-06 à 23:51



  Salut Kaiser,

    voici les résultats que je trouve;
            T('')= ''
= ''


     Pour le calcul de T(('), j'ai des problèmes pour intégrer
(y)dy entre 0 et x d'une part et entre x et 1 d'autre part.


                              Merci d'avance, Au revoir
                                     MATH

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 05-06-06 à 10:32


  salut,

  Comment  faire pour connaître la primitive de afin de calculer (y)dy entre 0 et x et entre x et 1 ?

                                             Merci d'avance, Au revoir
                                                      MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 05-06-06 à 11:27

Quelle question es-tu en train de faire exactement ?

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 05-06-06 à 14:34



  je suis toujours sur la troisième

Posté par
kaiser Moderateurre : espace préhilbertien 05-06-06 à 14:40

On a déterminé l'équation différentielle, donc il ne te reste plus qu'à la résoudre.
Pourquoi as-tu besoin de calculer l'intégrale de \Large{\varphi} ?

Posté par matou (invité)espace préhilbertien 05-06-06 à 15:42



  salut Kaiser,

Je ne suis pas bien sûr mais l'équation différentielle à trouver était
     = ''

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !