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Niveau maths sup
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Espace Vectoriel

Posté par
Tiantio
20-02-21 à 11:06

Bonjour à toutes et à tous !

Exo : Dans l'espace vectoriel E ={P ∈ R3[X] : P(1) = 0 } la famille A= ( X−1, (X−1)², (X−1)^3 )
Est-elle une famille libre ? Est-elle génératrice de E ? Est-ce une base de E ? Déterminer le
sous-espace engendré par cette famille, et donner le rang de la famille.

Voici ce que j'aie fait :
Vérifions si la famille A est libre. Dire que A est une famille libre, c'est dire que pour tout b1, b2, b3 € IRb b1(X−1) + b2(X−1)² +b3(X−1)^3=0 ---> b1=b2=b3=0

Après calcul, j'ai obtenu que b1=b2=b3=0 donc A est une famille libre.

Vérifions si la famille A est génératrice de E.
A est génératrice de E revient à dire que pour tout P € E, il existe b1, b2, b3 € IR/
P(X)=b1(X−1) + b2(X−1)² +b3(X−1)^3. J'ai posé P(X)=aX^3+bX^2+cX+d
Après calcul, je trouve que cela est vrai ssi a+b+c=-d(j'ai envie de conclure que A n'est génératrice de E mais j'arrive pas à trouver un contre-exemple).
Pour la 3ème et 4ème question , j'ai pas bien compris.( je remarque que (X−1)^3=(X-1)(X-1)²)

Je vous remercie  d'avance pour vos guides !

Posté par
DOMOREA
Espace Vectoriel 20-02-21 à 11:27

bonjour,
Quelle est la dimension de \mathbb{R}_3[X]?

Posté par
GBZM
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 11:29

Bonjour.

Comment s'exprime la condition P(1)=0 sur les coefficients de P=aX^3+bX^2+cX+d ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 11:30

Bonjour,

Citation :
je trouve que cela est vrai ssi a+b+c=-d


mais ça c'est acquis puisque dans la définition de E, il y a P(1)=0

Posté par
Tiantio
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 11:32

dim IR3[X]=4.

Posté par
Tiantio
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 11:35

P(1)=a+b+c+d donc a+b+c+d=0

Posté par
GBZM
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 14:08

Conclusion  ?

Posté par
Tiantio
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 14:18

La famille A est génératrice !

Posté par
DOMOREA
Espace Vectoriel 20-02-21 à 14:26

tu penses que 3 vecteurs indépendants engendrent un espace de dimension 4?

Posté par
Tiantio
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 14:31

Non, donc la famille A n'est pas génératrice.

Posté par
Tiantio
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 14:40

Svp, comment on détermine le sous-espace engendré par cette famille ?

Posté par
GBZM
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 16:20

DOMOREA, tu devrais lire l'énoncé plus attentivement.
L'énoncé demande si la famille A est génératrice du sous-espace E de \R_3[X] formé des polynômes P tels que P(1)=0. C'est ce qui est écrit dans le premier message de ce fil.

Posté par
Tiantio
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 19:35

Svp, alors la famille A est génératrice ou pas ?
MeRci pour votre réponse !

Posté par
carpediem
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 20:07

salut

ben oui ... d'après les questions de GBZM ...

Posté par
Tiantio
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 20:12

Donc la famille A est génératrice.
Elle forme une base de E puisqu'elle est à la fois libre et génératrice. Le rang de la famille est 3.
Maintenant, je ne sais pas comment déterminer le sous-espace engendré par cette famille.
Mercipour votre réponse 😊

Posté par
carpediem
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 20:27

Tiantio @ 20-02-2021 à 20:12

Donc la famille A est génératrice.
Elle forme une base de E puisqu'elle est à la fois libre et génératrice. Le rang de la famille est 3.
Maintenant, je ne sais pas comment déterminer le sous-espace engendré par cette famille.
Mercipour votre réponse 😊


sais-tu ce que signifie "engendré" et "génératrice" ?

Posté par
Tiantio
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 20:29

Désolé, je ne sais pas vraiment.  

Posté par
carpediem
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 20:30

alors il faut ouvrir un cours et y lire les définitions ...

Posté par
Tiantio
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 20:38

D'accord, merci !

Posté par
Tiantio
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 20:48

Sous-espace engendré le plus petit sous-espace vectoriel de E qui contient A.
Je ne sais pas comment le faire après !

Posté par
lafol Moderateur
re : Espace Vectoriel 20-02-21 à 22:59

bonjour
c'est du français, là ! forme passive, forme active
forme active : la famille engendre l'espace, la famille est génératrice de l'espace
forme passive : l'espace est engendré par la famille
c'est vrai que les journaleux nous corrompent l'oreille, à toujours utiliser de l'anglicisme "générer" au lieu de notre verbe "engendrer", ça n'aide pas ....



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