Énoncé :
1) Montrer que E est un espace-vectoriel.
2) Vérifier que les fonctions suivantes appartiennent a E : f1(x)=ex et f2(x)=xex
En déduire que Vect(f1(x),f2(x)) E
3) Soit g et soit h(x)=g(x)e-x. Montrer que h"(x)=0. En déduire h puis g.
4) Donner une base de E et préciser sa dimension.
Bonjour a tous, je ne suis pas sur de ma réponse pour la question 3, je trouve h(x)=ax avec a R et g(x)=axex avec a
R également...
Mais ce n'est pas ma requête principale, je n'ai aucune piste pour la question 4, n'ayant jamais travaillé avec l'ensemble des fonctions de R dans R, je ne sait pas comment partir pour trouver une base et je ne connais même pas de base canonique de F(R,R) (y'en a t'il une ?!?)
Enfin bref si vous avez une quelconque idée n'hésitez pas !
Merci d'avance (première fois que j'utilise le LaTeX, je ne trouve pas le R avec double barre symbolisant l'espace en question, ou est-il ?)
Bonjour,
Pour la 3), il ne faut pas oublier les constantes d'intégration
Pour la 4), tu as peut-être vu en sup la structure de l'espace des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
On ne te demande pas de trouver de base canonique de .
Tu peux t'inspirer de la question 1).
En Latex, tu peux écrire avec \mathbb{R}
Bonjour,
Pour 3), tu as réussi à démontrer h''(x) = 0 ?
Sinon, ta forme générales des fonctions h qui vérifient h''(x) = 0 n'est pas bonne.
Quand tu auras terminé 3), la question 4) te semblera plus facile.
Bonsoir,
Ton énoncé de 3) est incomplet.
g E je suppose ?
La définition de F(R,R) est incomplète. Il faut supposer au minimum que ce sont des applications de dans
deux fois dérivables je suppose.
C'est un espace de dimension infinie, il n'a pas de base canonique.
Par contre le sous espace étant engendré par deux éléments est de dimension finie. Si ces deux éléments sont linéairement indépendants, ils en constitueront une base.
Bonjour,
C'est bon pour la 3).
Je te laisse chercher la 4) et éventuellement revenir si tu as des questions.
Bonjour,
Oui, c'est mieux, en précisant où sont a et b
Te replonger dans tes vieux cours ne peut pas te faire de mal.
Mais pour l'exercice, tu peux déduire directement 4) de 3) :
Utilise le résultat de 3) sur les fonctions g de E pour les écrire comme combinaison linéaire de fonctions assez simples.
Toujours bloqué Ou alors la seule piste que j'ai serait de dire que une base de E est Vect(f1,f2) mais cela me parait trop simpliste. Je n'arrive pas a utiliser la q2 pour arriver a mes fins.
C'est effectivement ce qu'on peut chercher à montrer.
La famille est génératrice : Soit , alors par 3) tu peux montrer que
est combinaison linéaire de
et
La famille est libre : Si une combinaison linéaire est nulle pour tout x, alors...
Il ne s'agit pas d'utiliser la question 2, mais la 3 :
Je n'ai pas la définition exacte mais je pense que une famille est libre si une combinaison linéaire de ses vecteurs égale a 0 implique que tout les coefficients soient nuls ?
Je reviens car je viens de comprendre le message de GBZM que je salue
La vraie conclusion de la question 3) est :
Si g est dans E alors
g est une combinaison linéaire de f1 et f2.
Il faut justifier la réciproque.
On se donne une combinaison linéaire nulle :
Soient tels que
.
Qu'est-ce que ça donne si tu l'évalues en 0 ?
Je ne sais pas si tu as bien compris ce qu'est une combinaison linéaire nulle dans ce contexte.
C'est une combinaison linéaire telle que tu aies la fonction nulle.
Donc ici quand tu écris , tu écris
, ce qui n'est pas le cas.
Cela dépend de ce que tu as écrit. Si ta démonstration est valide alors tu peux conclure.
Mais comme pour l'instant tu n'as écrit que la conclusion, je ne sais pas quel est ton raisonnement.
Ma réponse pour la question 4 serait alors :
g(x)=af1+bf2 ; or g E
Donc E=Vect(f1,f2) alors la famille f1,f2 est génératrice de l'espace E
Et af1+bf2=0 a et b nuls
Donc f1,f2 est une famille libre, alors cette famille est une base de E de dimension 2.
.... Sinon je suis perdu
Pour l'aspect générateur, c'est quoi ?
Le "or " je ne comprends pas ce qu'il apporte d'un point de vue logique.
Ou alors le n'est plus celui de 3), auquel cas c'est quoi
?
Pour l'aspect libre, tu as juste écrit la définition de la liberté.
Si c'était trivial, pourquoi pas, mais là tu as passé du temps dessus donc mieux vaut justifier un minimum
J'ai écrit g appartient a E pour ensuite pouvoir écrire E=Vect(f1,f2)
je ne comprend pas ce que je dois préciser on a f1 et f2 qui sont des fonctions exponentielles donc jamais nulles non ? sauf pour f2 dans le cas ou x=0 comme je disait tout a l'heure.. :'( je suis perdu
Je t'écris des indications pour la rédaction.
Aspect générateur :
On montre .
i) montrer (question 2))
ii) montrer (question 3))
Aspect libre :
Soient tels que
.
i) Evaluer cette application en 0. En déduire la valeur de a
ii) Conclure
E "contenu" dans la combinaison linéaire de f1 et f2, je ne comprend pas .. c'est juste parce que g appartient a E et qu'il peut s'écrire comme une combinaison linaire de f1 et f2 ?
Tu ne comprends pas ce qu'est une inclusion ensembliste ?
Quand tu parles de g, c'est quoi g ? Là tu as juste dit que c'est un élément de
Je suis perdu je ne vois pas comment la question 3 nous permet de montrer ce que tu as écrit au niveau de générateur le ii).
Pour montrer qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B, il suffit de montrer que tout élément de A est un élément de B
Qu'est-ce que tu as montré à la question 3) ?
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