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Niveau maths spé
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Espace-vectoriel des fonction de R dans R

Posté par
WhatIsX
14-11-20 à 17:32

Énoncé :

Soit E=\left\{ f\in F(R,R) | f''=2f'-f\right\}

1) Montrer que E est un espace-vectoriel.

2) Vérifier que les fonctions suivantes appartiennent a E : f1(x)=ex et f2(x)=xex
En déduire que Vect(f1(x),f2(x)) \subset E

3) Soit g \in et soit h(x)=g(x)e-x. Montrer que h"(x)=0. En déduire h puis g.

4) Donner une base de E et préciser sa dimension.


Bonjour a tous, je ne suis pas sur de ma réponse pour la question 3, je trouve h(x)=ax avec a \in R et g(x)=axex avec a \in R également...

Mais ce n'est pas ma requête principale, je n'ai aucune piste pour la question 4, n'ayant jamais travaillé avec l'ensemble des fonctions de R dans R, je ne sait pas comment partir pour trouver une base et je ne connais même pas de base canonique de F(R,R) (y'en a t'il une ?!?)

Enfin bref si vous avez une quelconque idée n'hésitez pas !

Merci d'avance (première fois que j'utilise le LaTeX, je ne trouve pas le R avec double barre symbolisant l'espace en question, ou est-il ?)

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 14-11-20 à 17:59

Bonjour,

Pour la 3), il ne faut pas oublier les constantes d'intégration

Pour la 4), tu as peut-être vu en sup la structure de l'espace des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
On ne te demande pas de trouver de base canonique de F(\mathbb{R}, \mathbb{R}).
Tu peux t'inspirer de la question 1).

En Latex, tu peux écrire \mathbb{R} avec \mathbb{R}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 14-11-20 à 18:01

Bonjour,
Pour 3), tu as réussi à démontrer h''(x) = 0 ?
Sinon, ta forme générales des fonctions h qui vérifient h''(x) = 0 n'est pas bonne.

Quand tu auras terminé 3), la question 4) te semblera plus facile.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 14-11-20 à 18:02

Bonjour Maru0

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 14-11-20 à 18:04

Bonjour

Posté par
boninmi
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 14-11-20 à 18:07

Bonsoir,

Ton énoncé de 3) est incomplet.
g E je suppose ?

La définition de F(R,R) est incomplète. Il faut supposer au minimum que ce sont des applications de dans deux fois dérivables je suppose.
C'est un espace de dimension infinie, il n'a pas de base canonique.
Par contre le sous espace étant engendré par deux éléments est de dimension finie. Si ces deux éléments sont linéairement indépendants, ils en constitueront une base.

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 14:16

Maru0 @ 14-11-2020 à 17:59

Bonjour,

Pour la 3), il ne faut pas oublier les constantes d'intégration

Pour la 4), tu as peut-être vu en sup la structure de l'espace des solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
On ne te demande pas de trouver de base canonique de F(\mathbb{R}, \mathbb{R}).
Tu peux t'inspirer de la question 1).

En Latex, tu peux écrire \mathbb{R} avec \mathbb{R}


Bonjour, merci de ta réponse ! En effet du coup j'ai h(x)=ax+b ainsi que g(x)=(ax+b)ex est-ce mieux ?
En effet, je vais ressortir mes cours de sup et me replonger dans la question 4, merci encore

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 14:17

Sylvieg @ 14-11-2020 à 18:01

Bonjour,
Pour 3), tu as réussi à démontrer h''(x) = 0 ?
Sinon, ta forme générales des fonctions h qui vérifient h''(x) = 0 n'est pas bonne.

Quand tu auras terminé 3), la question 4) te semblera plus facile.


Bonjour, merci de ta réponse !

Oui j'ai reussi assez facilement car g appartient a E on retombe facilement sur ses pattes, mais la question 3 ne semble pas beaucoup m'aider pour le moment..
Je vais chercher !

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 14:19

boninmi @ 14-11-2020 à 18:07

Bonsoir,

Ton énoncé de 3) est incomplet.
g E je suppose ?

La définition de F(R,R) est incomplète. Il faut supposer au minimum que ce sont des applications de dans deux fois dérivables je suppose.
C'est un espace de dimension infinie, il n'a pas de base canonique.
Par contre le sous espace étant engendré par deux éléments est de dimension finie. Si ces deux éléments sont linéairement indépendants, ils en constitueront une base.


Bonjour, merci.
Oui g appartient bien a E autant pour moi !
Ah oui libre et générateur ? Je vais regarder ça !

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 14:21

Bonjour,
C'est bon pour la 3).
Je te laisse chercher la 4) et éventuellement revenir si tu as des questions.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 14:25

Bonjour,
Oui, c'est mieux, en précisant où sont a et b

Te replonger dans tes vieux cours ne peut pas te faire de mal.
Mais pour l'exercice, tu peux déduire directement 4) de 3) :
Utilise le résultat de 3) sur les fonctions g de E pour les écrire comme combinaison linéaire de fonctions assez simples.

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:37

Toujours bloqué Ou alors la seule piste que j'ai serait de dire que une base de E est Vect(f1,f2) mais cela me parait trop simpliste. Je n'arrive pas a utiliser la q2 pour arriver a mes fins.

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:41

C'est effectivement ce qu'on peut chercher à montrer.

La famille est génératrice : Soit g \in E, alors par 3) tu peux montrer que g est combinaison linéaire de f_1 et f_2

La famille est libre : Si une combinaison linéaire est nulle pour tout x, alors...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:42

Il ne s'agit pas d'utiliser la question 2, mais la 3 :

Citation :
En effet du coup j'ai h(x)=ax+b ainsi que g(x)=(ax+b)ex

Pourquoi dis-tu que c'est simpliste ?

Posté par
GBZM
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:43

Bonsoir,
Ne pas oublier la question 2 : les fonctions f_1 et f_2 appartiennent à E.

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:46

Maru0 @ 15-11-2020 à 17:41

C'est effectivement ce qu'on peut chercher à montrer.

La famille est génératrice : Soit g \in E, alors par 3) tu peux montrer que g est combinaison linéaire de f_1 et f_2

La famille est libre : Si une combinaison linéaire est nulle pour tout x, alors...


Avec mon expression j'ai g(x)=a*f2+b*f1 mais encore ?

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:47

Sylvieg @ 15-11-2020 à 17:42

Il ne s'agit pas d'utiliser la question 2, mais la 3 :
Citation :
En effet du coup j'ai h(x)=ax+b ainsi que g(x)=(ax+b)ex

Pourquoi dis-tu que c'est simpliste ?


h(x) et g(x) doivent me permettre de trouver une base ? Mais h(x) n'est pas combinaison de f1 ou f2

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:49

GBZM @ 15-11-2020 à 17:43

Bonsoir,
Ne pas oublier la question 2 : les fonctions f_1 et f_2 appartiennent à E.


Bonsoir, donc forcement je dois écrire les combinaisons linéaires en fonction de ceux la c'est ça ?

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:49

En écrivant g = af_2 + bf_1 tu as bien une combinaison linéaire. Où est le problème ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:50

h n'est qu'un intermédiaire.
Tu devrais écrire clairement la conclusion de 3).

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:50

Maru0 @ 15-11-2020 à 17:49

En écrivant g = af_2 + bf_1 tu as bien une combinaison linéaire. Où est le problème ?


Donc je dois utiliser uniquement g(x) pour déterminer la base ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:51

Je vous laisse

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:52

Sylvieg @ 15-11-2020 à 17:50

h n'est qu'un intermédiaire.
Tu devrais écrire clairement la conclusion de 3).


Ma conclusion pour la question 3 est que g(x)=(ax+b)*ex avec a et b appartenant a R ...

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:53

Tu pourrais écrire la définition de famille génératrice d'un espace vectoriel ?

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 17:59

Maru0 @ 15-11-2020 à 17:53

Tu pourrais écrire la définition de famille génératrice d'un espace vectoriel ?


on dit que (xi)ieI est une famille génératice de F si F=Vect((xi)ieI)

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:01

Donc d'après cette définition, (f_1, f_2) est-elle une famille génératrice de E ?

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:04

Maru0 @ 15-11-2020 à 18:01

Donc d'après cette définition, (f_1, f_2) est-elle une famille génératrice de E ?


Oui en effet, mais alors il faut prouver la liberté et c'est une toute autre histoire

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:05

De nouveau, quelle est la définition d'une famille libre ?

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:14

Je n'ai pas la définition exacte mais je pense que une famille est libre si une combinaison linéaire de ses vecteurs égale a 0 implique que tout les coefficients soient nuls ?

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:16

Ok. Donc si tu te donnes une combinaison linéaire nulle de f_1 et f_2. Comment conclues-tu ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:19

Je reviens car je viens de comprendre le message de GBZM que je salue
La vraie conclusion de la question 3) est :
Si g est dans E \; alors \; g est une combinaison linéaire de f1 et f2.

Il faut justifier la réciproque.

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:21

... je ne sais pas

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:21

Effectivement Sylvieg. La question 2) a donc une utilité.

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:23

On se donne une combinaison linéaire nulle :

Soient a,b \in \mathbb{R} tels que af_1 + bf_2 = 0.
Qu'est-ce que ça donne si tu l'évalues en 0 ?

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:30

Maru0 @ 15-11-2020 à 18:23

On se donne une combinaison linéaire nulle :

Soient a,b \in \mathbb{R} tels que af_1 + bf_2 = 0.
Qu'est-ce que ça donne si tu l'évalues en 0 ?


cela implique alors a =0 et b =0 ou a=0 et f2=0

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:33

Je ne sais pas si tu as bien compris ce qu'est une combinaison linéaire nulle dans ce contexte.
C'est une combinaison linéaire telle que tu aies la fonction nulle.
Donc ici quand tu écris f_2 = 0, tu écris \forall x, f_2(x) = 0, ce qui n'est pas le cas.

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:37

Oui c'est vrai mais j'ai mis f2=0 car si x=0 elle est nulle c'était pour cela

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:38

A la rigueur tu peux écrire f_2(0) = 0, mais rien d'autre...

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:39

Enfin si, tu peux écrire d'autres choses, mais pas f_2 = 0

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:40

d'accord donc je dois juste conclure a et b nuls ? d'ou f1,f2 est libre ?

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:41

Cela dépend de ce que tu as écrit. Si ta démonstration est valide alors tu peux conclure.
Mais comme pour l'instant tu n'as écrit que la conclusion, je ne sais pas quel est ton raisonnement.

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:47

Ma réponse pour la question 4 serait alors :
g(x)=af1+bf2 ; or g \in E
Donc E=Vect(f1,f2) alors la famille f1,f2 est génératrice de l'espace E
Et af1+bf2=0 \Rightarrow a et b nuls
Donc f1,f2 est une famille libre, alors cette famille est une base de E de dimension 2.

.... Sinon je suis perdu

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:52

Pour l'aspect générateur, c'est quoi x ?
Le "or g \in E" je ne comprends pas ce qu'il apporte d'un point de vue logique.
Ou alors le g n'est plus celui de 3), auquel cas c'est quoi g ?

Pour l'aspect libre, tu as juste écrit la définition de la liberté.
Si c'était trivial, pourquoi pas, mais là tu as passé du temps dessus donc mieux vaut justifier un minimum

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 18:57

J'ai écrit g appartient a E pour ensuite pouvoir écrire E=Vect(f1,f2)
je ne comprend pas ce que je dois préciser on a f1 et f2 qui sont des fonctions exponentielles donc jamais nulles non ? sauf pour f2 dans le cas ou x=0 comme je disait tout a l'heure.. :'( je suis perdu

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 19:01

Je t'écris des indications pour la rédaction.

Aspect générateur :
On montre E = Vect (f_1 , f_2).
i) montrer Vect(f_1,f_2) \subset E (question 2))
ii) montrer E \subset Vect(f_1,f_2) (question 3))

Aspect libre :
Soient a,b \in \mathbb{R} tels que af_1 + bf_2 = 0.
i) Evaluer cette application en 0. En déduire la valeur de a
ii) Conclure

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 20:33

E "contenu" dans la combinaison linéaire de f1 et f2, je ne comprend pas .. c'est juste parce que g appartient a E et qu'il peut s'écrire comme une combinaison linaire de f1 et f2  ?

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 20:49

Tu ne comprends pas ce qu'est une inclusion ensembliste ?
Quand tu parles de g, c'est quoi g ? Là tu as juste dit que c'est un élément de Vect (f_1,f_2) \cap E

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 20:55

Je suis perdu je ne vois pas comment la question 3 nous permet de montrer ce que tu as écrit au niveau de générateur le ii).

Posté par
Maru0
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 21:02

Pour montrer qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B, il suffit de montrer que tout élément de A est un élément de B
Qu'est-ce que tu as montré à la question 3) ?

Posté par
WhatIsX
re : Espace-vectoriel des fonction de R dans R 15-11-20 à 21:07

J'ai montré que g pouvait s'écrire comme combinaison linéaire de f1 et f2 tout deux appartenant a E

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