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espaces propres matrice complexe
Bonjour,
Je cherche à déterminer l'espace propre lié à la valeur propre 1 de cette matrice :
Ce que je fais c'est je calcule et je tombe sur le système suivant (j'ai pris le vecteur (x,y,z)) :
Mais à l'étape de dire quels sont les vecteurs propres j'ai un doute, je peux dire que les vecteurs propres sont : et
, mais pourquoi pas aussi les vecteurs
et
ou encore
? Est-ce que c'est parce que les vecteurs de l'espace propre doivent forcément être "orthogonaux 2 à 2" donc le produit scalaire de chacun avec tous les autres doit être nul ou est-ce qu'il y a une autre raison ?
En fait je n'ai pas de bonne méthode pour déterminer les vecteurs de l'espace propre, surtout dans ce cas où il n'y a pas de forme ou on pose une des composantes en paramètres et exprime les autres en fonction (ici dans le système, "y" n'apparaît jamais)
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour
il n'y a pas un nombre fini de vecteurs propres !
ce que tu peux dire ici, c'est que les vecteurs propres auront pour coordonnées (x,y,ix), où x et y sont deux complexes quelconques
donc tous ceux que tu as proposés sont effectivement des vecteurs propres
j'imagine que ce que tu cherches, plus précisément, c'est une base de l'espace propre ? navrée de te décevoir, mais là encore, il n'y en a pas une unique ! deux vecteurs propres non colinéaires donneront une base , tu as l'embarras du choix !
Bonjour,
Merci de votre réponse, oui effectivement je voulais dire "base de l'espace propre" je me suis mal exprimé 
.
Donc si je résume, la méthode pour trouver les vecteurs de la base de l'espace propre est de tous les déterminer, puis en trouver le maximum qui peuvent former une base ?
Si on nous demande "déterminer la dimension de l'espace propre de telle matrice" c'est bien cela qu'il faut faire ? Il n'existe pas de méthode plus rapide/plus efficace ?
Bonsoir,
en général tu as la méthode après (x, y, ix ) = x(1,0,i) + y(0,1,0)
te fournit directement une base. Il y a des cas où on peut faire autrement mais ça dépend de la matrice....
Pour la dimension tu peux dire qu'il n'y a qu'une équation indépendante (puisque l'autre est i fois la première), et
que par exemple par la formule du rang, la dimension du noyau de la forme linéaire est 3 -1 = 2
(sinon, cherche dans les réponses de GBZM, il y a un topic où il explique très clairement comment on a la dimension d'un sous-espace à partir du nombre d'équations linéaires indépendantes qui définissent ce sous-espace)
Bonsoir,
D'accord merci pour vos réponses je vois mieux comment faire.
J'ai une autre question sur la même matrice, mon professeur dit :
"Appliquez la matrice à e2 , et vous obtiendrez un vecteur colinéaire à e2 , ce qui signifie que e2 est vecteur propre de cette matrice. Donc sans rien avoir à faire vous tenez un sous-espace propre. La matrice est déjà diagonale dans ce sous-espace. "
Je comprend que
De plus, que veut-il dire par "la matrice est déjà diagonale dans ce sous-espace" ? Il parle bien du sous espace ayant une dimension de base {e2} ? Qu'est-ce que ça signifie "être diagonale dans tel sous-espace" ? (Je précise que je sais diagonaliser une matrice dans le cas général)
Bonjour,
Ce que dit ton prof, c'est que la droite vectorielle engendrée par est stable, donc c'est une droite propre. Après, il exagère en disant qu'on tient un sous-espace propre, parce que cette droite propre n'est pas tout le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 (qui est un plan vectoriel).
Bonjour,
Juste une remarque :
mon professeur dit
Ce que dit ton prof, c'est que la droite vectorielle engendrée par
Bonjour,
Que signifie "stable" dans ce contexte svp ?
Bonjour,
Juste une remarque :
mon professeur dit
Bonjour,
Ca aurait pu mais non, j'ai copié collé ce qu'a écrit le prof sur Moodle ^^. Il a vraiment dit exactement ça.
Il parle de "matrice diagonale dans tel sous-espace" ou "diagonaliser dans tel sous-espace" et je ne sais pas ce qu'il veut dire...
Un sous espace est dit stable par un endomorphisme
quand
est contenu dans
.
Une droite stable est une droite propre (engendrée par un vecteur propre).
Si un sous-espace est stable par
, on peut considérer la restriction de
à
et chercher à diagonaliser cette restriction.
Ici, le sous espace stable qu'on voit sur la matrice est une droite (celle engendrée par
), de dimension 1. Diagonaliser une matrice de taille 1, ce n'est pas très dur : elle est déjà diagonale.
Ici, le sous espace stable
Quelle est cette matrice de taille 1 svp ?
Bonsoir
tu es sérieux, là ? tu as écrit u(e_2) = 1.e_2 et tu ne sais pas écrire la matrice de u dans la base (e_2) ?
Bonsoir,
Non je ne vois pas je n'ai jamais entendu parler de matrice de taille 1. Je lis sur internet que c'est un nombre donc ça serait "1" ?
Le prof dit ensuite "Il faut donc diagonaliser la matrice dans le sous-espace engendré par {e1,e3}" comment est-ce que je peux faire ça ? Je verrai peut-être mieux que avec juste {e2}. Il dit que la matrice à diagonaliser est mais pourquoi cette matrice ? Je sais que c'est la matrice avec la deuxième ligne et la deuxième colonne enlevées mais pourquoi fait-on ça ? A mon avis (faux je sais) on devrait juste enlever la 2ème colonne et pas de ligne
Bonjour,
Je ne sais pas trop à quel niveau se situe ton cours. Ta classification "autre licence" apporte très peu d'information là-dessus.
Je peux essayer de t'expliquer la situation mathématique, mais ça risque de te passer au-dessus de la tête.
J'appelle l'endomorphisme de
de matrice
dans la base
Je t'ai expliqué ce qu'est un sous-espace stable par un endomorphisme. Il se trouve ici que l'examen de la matrice
nous donne immédiatement deux sous-espaces stables
et
. Ces deux sous-espaces stables sont supplémentaires,
.
On peut alors considérer les restrictions et
. La matrice de
dans la base
de
est
. Celle de
dans la base
de
est
(eh oui, une matrice à une ligne et une colonne).
Est-ce que je t'ai perdu, ou est-ce que je peux continuer ?
Ta classification "autre licence" apporte très peu d'information là-dessus.
Bonjour,
Désolé j'aurais du préciser, suis en L3 de physique, mais ce qu'on a vu de l'algèbre linéaire était très très centré sur la diagonalisation générale. D'ailleurs le prof dont je parle est un prof de physique quantique pas un prof de maths (on ne verra pas plus d'algèbre linéaire cette année que je sache).
Il se trouve ici que l'examen de la matrice
A partir de là je suis perdu je ne comprend pas. En quoi l'examen de la matrice nous donne ces deux sous-espaces stables ? D'accord pour {e2}, c'est ce qu'on a vu avant. Mais pour {e1,e3} ?
J'ai l'impression que ton incompréhension est plus profonde et se situe au niveau de . Tu le notes {e1,e3}, comme si c'était l'ensemble à deux éléments e1 et e3. Or ce n'est pas du tout ça ! C'est le sous-espace engendré par
et
, c.-à-d. l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de
et
. C'est tout un plan vectoriel.
L'examen de la matrice montre que
et que
. Donc
est stable par
.
J'ai l'impression que ton incompréhension est plus profonde et se situe au niveau de
Non ça j'avais compris.
L'examen de la matrice
Ah d'accord là je vois ! Commes les images des vecteurs de la base {e1,e3} restent dans l'ev engendré par {e1,e3}, il est stable par "u", d'accord.
Si je résume ce qu'il faut faire c'est regarder les images des vecteurs de la base de la matrice "à travers" l'application définie par la matrice, puis tirer des conclusions ensuite selon les résultats. Pour moi c'est loin d'être évident encore moins immédiat
. Du coup on peut définir quel sous-espaces de la base initiale sont stables à travers l'application linéaire "u" définie par la matrice A dans la base {e1,e2,e3}, sachant qu'ensuite cette même application linéaire "u" sera exprimée par des matrices différentes dans ces sous-espaces. Reste à comprendre pourquoi la matrice de "u" est ce qu'elle est dans {e1,e3}, mais je suis en train de travailler j'y reviendrai plus tard.
En tout cas merci pour ces explications ça a clarifié quelques points pour moi.
Non ça j'avais compris.
Mais il reste la confusion dans les notations qui montre, à mon sens, que ce n'est pas entièrement compris et intégré. J'en veux pour exemple ton expression "sous-espaces de la base initiale", une nouvelle fois comme si {e1,e3} était un sous-espace.
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