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Niveau maths spé
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Espaces Vectoriels

Posté par
pfff
20-07-21 à 13:54

Bonjour, j'aimerais un peu d'aide pour résoudre cet exercice. Merci

ÉNONCÉ
Étudier si les ensembles proposés sont des sous-espaces vectoriels des espaces précisés.
Si oui, en donner une base et la dimension.

1.  F = \left\{\left(x, y, z \right) \in R^3, x-y+z = 2.x+y+z=0 \right\} dans ^3

2. G =  \left\{\left(x, y, z, t \right) \in R^4, x+2.y-z-t = x-y+3z+2t=0 \right\}, dans ^4


Recherches
J'ai deja montré que ces deux ensembles sont des sous espaces vectoriels des espaces précisés mais je n'arrive pas encore à determiner leur base

Posté par
Camélia Correcteur
re : Espaces Vectoriels 20-07-21 à 15:11

Bonjour

par définition ces deux espaces sont des noyaux. Il faut dans les deux cas trouver le nombre maximal de vecteurs indépendants de cex espaces.

Par exemple, pour débuter, (1,1,0)\in F

Posté par
larrech
re : Espaces Vectoriels 20-07-21 à 15:48

Bonjour,

Il y a une faute de frappe ; (1, -1, 0) \in F plutôt

Posté par
pfff
re : Espaces Vectoriels 20-07-21 à 16:24

vous voulez parler de la dimension ? Sinon je vois pas comment procéder, comment je dois faire ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Espaces Vectoriels 20-07-21 à 16:33

>larrech J'ai hésité, mais j'ai lu
x-y+z = 2x+y+z=0
à préciser!

>pfff mais j'ai expliqué ce que tu dois faire!

Posté par
pfff
re : Espaces Vectoriels 20-07-21 à 16:36

je veux savoir, le vecteur (1,1,0) que vous avez pris, pourquoi il ne verifie pas 2x+y+z =0 et vous dites qu'il appartient à F ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Espaces Vectoriels 20-07-21 à 16:38

Oui, il y a bien des fautes de frappe!

Posté par
larrech
re : Espaces Vectoriels 20-07-21 à 16:48

@Camélia

J'ai lu autrement en effet, et j'ai perdu...

Posté par
larrech
re : Espaces Vectoriels 20-07-21 à 17:02

Tu résous le système :

x-y+z=0
2x+y+z=0

en prenant par exemple z comme paramètre.

En d'autres termes tu exprimes x et y en fonction de z.

Posté par
pfff
re : Espaces Vectoriels 20-07-21 à 21:47

larrech @ 20-07-2021 à 17:02

Tu résous le système :

x-y+z=0
2x+y+z=0

en prenant par exemple z comme paramètre.

En d'autres termes tu exprimes x et y en fonction de z.


ok j'ai résolu le système pour le premier. J'obtiens

x= -2/3z et y = 1/3z

donc soit u = (x, y, z) = ( -2,1,3)   pour z = 3

F2 = Vect( (-2,1,3) )

Posté par
pfff
re : Espaces Vectoriels 20-07-21 à 21:50

mais est ce que je peux dire que (-2,1,3) forme une base de F ?
Comment je fais pour determiner la dimension de F ?

Posté par
larrech
re : Espaces Vectoriels 20-07-21 à 22:42

Tu as montré que tout élément de F est de la forme k(-2, 1, 3) où k est un réel quelconque.
Le vecteur (-2, 1, 3) est évidemment libre et constitue donc une base de F qui est par conséquent  de dimension 1.

Posté par
pfff
re : Espaces Vectoriels 21-07-21 à 22:53

ah oui je vois. Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
larrech
re : Espaces Vectoriels 21-07-21 à 22:55

De rien. Il ne te reste plus qu'à mettre cela à profit pour terminer l'autre exercice.



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