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Espérance conditionnelle

Posté par
Apparition 05-10-18 à 23:23

Bonjour, j'essaie de résoudre une question sur l'espérance mais n'ayant pas la correction j'aimerais savoir si ma démarche est bonne.

Soient X1 et X2 des variables aléatoires indépendantes, de lois exponentielles de même paramètre .

Calculer E(X1 sachant min(X1,X2)).
Ou E(X) est l'espérance de X.

On pose Z=min(X1, X2) et du coup on a  : E(X1sachant min(X1,X2) = h(Z)

pour trouver h qui est une fonction mesurable, on regarde l'égalité :
E(X1g(Z))=E(h(Z)g(Z))
pour toute fonction g mesurable, bornée.
Trivialement on a : \int_{0}^{+infini}{\lambda xg(z)exp(-\lambda x)dx}

J'ai calculer la loi du min et j'ai ainsi trouver la densité f(x)=2exp(-2x)

D'où, E(h(z)g(z))=\int_{0}^{+infini}{h(z)g(z)z2\lambda exp(-2\lambda z)dz}

On montre ainsi que h(Z)=exp(-Z)/2

Merci d'avance,

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ApparitionCalcul d'intégrale 09-10-18 à 18:07

Bonjour, j'essaie de calculer une intégrale mais je m'y prend mal je pense car je me retrouve bloqué alors qu'elle est normalement facilement calculable.

Voila l'intégrale :

\int_{0}^{+infini}{\int_{0}^{+infini}{xg(min(x,y))\lambda exp(-\lambda x)\lambda exp(-\lambda y) dx dy}}

Où g est une fonction continue et bornée et lambda un réel strictement positif.
J'ai essayé  de découper l'intégrale en somme d'intégrale avec une indicatrice pour éliminer le min à l'intérieur de la fonction g mais je n'aboutis à rien .

Je précise avant de recevoir 9 réponses me disant d'écrire tout l'énoncé de l'exercice parce que c'est surement pas la bonne intégrale, que c'est un exercice de probabilité de niveau M1 et que c'est seulement la fin d'un exercice où c'est bien cette intégrale qu'il faut calculer.

Merci d'avance,

*** message déplacé ***

Posté par
Razesre : Calcul d'intégrale 09-10-18 à 18:21

Bonjour,
T'en fait pas, je ne dirais rien. Je ne dirais pas ce que fait ce \lambda ? alors qu'on peut faire le changement x'=\lambda x; y'=\lambiance y Ce qui permet de sortir ce \lambda. Non, je ne dirais rien.

*** message déplacé ***

Posté par
Apparitionre : Calcul d'intégrale 09-10-18 à 18:33

C'est pas faute d'avoir Prévenue je m'y attendais.
Le problème n'est pas le lambda, ton changement de variable ne va absolument rien changer à mon problème. De plus penser que répondre un changement de variable linéaire a un étudiant en M1 est juste abuser. Le problème réside dans le min a l'interieur de g. Si quelqu'un a une intervention plus intéressante je suis preneur.

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 09-10-18 à 18:48

salut

ben un étudiant de M1 donnerait tout de même la fonction g qui est importante à connaitre ... me semble-t-il ...

de plus pour tout réel positif x fixé un étudiant de M1 écrirait [0, + oo[ = [0, x] U [x, +oo[ donc :

un étudiant de M1 connait min (x, y) sur chacun des intervalles [0, x] et [x, +oo[

et enfin un étudiant de M1 écrirait simplement

I = \int_0^\infty \int_0^\infty xg(\min (x, y)) e^{-ax}e^{-ay} dxdy = \int_0^\infty x e^{-ax} \left( \int_0^x g(\min (x,y))e^{-ay}dy + \int_x^\infty g(\min(x,y))e^{-ay}dy \right)dx

...



*** message déplacé ***

Posté par
Apparitionre : Calcul d'intégrale 09-10-18 à 22:08

Ca commence vraiment à tourner au ridicule, penses tu vraiment que si je connaissais g je n'aurais rien dit d'autre sur elle, ce que je te dit est simple c'est que g est une fonction continue bornée dont on ne sait rien de plus .

Pour être plus claire sinon j'aurais pas de réponse plus constructive que les deux première qui dénigre les gens, cette intégrale vient de cet exercice où personne n'a souhaité venir me dénigrer bizarrement, peut- être trop compliqué ? https://www.ilemaths.net/sujet-esperance-conditionnelle-794343.html

L'intégrale que je cherche à calculer est celle qui devrait être à la place de celle écrite après le " trivialement on a :" qui n'était pas si triviale que ça.

Merci d'avance si quelqu'un souhaite vraiment venir en aide plutôt que de donner des conseils de terminale.

*** message déplacé ***

Posté par
luzakre : Calcul d'intégrale 10-10-18 à 08:45

Bonjour !
Un autre conseil de terminale : vérifier si tu n'as pas oublié un "y" dans la fonction à intégrer. Parce que ce machin presque symétrique  est douteux.

Sortant un instant de ma terminale, je te suggère de considérer que ton domaine d'intégration est la réunion des ensembles A=\{(x,y),\;0\leqslant x\leqslant y\},\;B=\{(x,y),\;0\leqslant y\leqslant x\} et d'utiliser, pour chaque intégrale \iint_A,\;\iint_B la formule de Fubini pour avoir une des intégrales (celle qu'on doit calculer en premier) ne contenant pas g (puisque tu ne veux pas nous la donner).
Il restera alors des intégrales simples et, qui sait, leur regroupement ferait disparaître  le terme en g ce qui permettrait le calcul.
Et si la chance n'est pas là tu aurais une intégrale simple contenant l'inconnue g, ce qui est peut-être une solution satisfaisante.

*** message déplacé ***

Posté par
carpediemre : Calcul d'intégrale 10-10-18 à 09:29

peut-être que Razes (et je pense qu'il est d'accord) ne répond pas à ton pb (c'est un détail dans un premier temps)

moi-même j'essaie de t'apporter une réponse ... mais tes réponses restent désagréables ...

1/ tout d'abord pourquoi ne pas continuer sur le même fil que Espérance conditionnelle puisuqe c'est le même sujet

2/ j'essaie de répondre à ton pb

Apparition @ 09-10-2018 à 18:33

Le problème réside dans le min a l'interieur de g.
Citation :
I = \int_0^\infty \int_0^\infty xg(\min (x, y)) e^{-ax}e^{-ay} dxdy = \int_0^\infty x e^{-ax} \left( \int_0^x g(\min (x,y))e^{-ay}dy + \int_x^\infty g(\min(x,y))e^{-ay}dy \right)dx = \red \int_0^\infty x e^{-ax} \left( \int_0^x g(y)e^{-ay}dy + g(x)\int_x^\infty e^{-ay}dy \right)dx


3/
Citation :
Trivialement on a : \int_{0}^{+infini}{\lambda xg(z)exp(-\lambda x)dx} \red = g(z) \int_0^\infty axe^{-ax}dx
tout simplement

4/ maintenant tant qu'on ne connait pas g ben je ne vois pas ce qu'on peut faire : si g est bornée il est évident que cette intégrale converge ... mais son calcul nécessite la connaissance de g ...


PS : j'avais écrit un long msg et fini par un PS pour dire que je faisais un signalement
j'ai fait le signalement sans valider mon msg ... que j'ai perdu

j'ai brièvement résumé mon propos dans ce msg et j'ai donc fait un signalement pour dire que ce n'est pas vraiment du multi-post mais qu'il serait bien de regrouper ce fil avec celui donné en lien puisqu'ils portent sur le même sujet


5/ je n'ai jamais vraiment "travaillé" avec le théorème de transfert qui me semble purement "théorique" et je manque de pratique :pour moi ce théorème est simplement un changement de variable ou un changement de densité de probabilité et comme je l'ai dit l'ayant peu pratiqué je ne vois pas vraiment son intérêt pratique ... mais bon


on essaie de t'apporter des réponses (peut-être maladroites) et des éléments ... et ut nous envoie balader ... ben c'est ce que je vais faire ...



*** message déplacé ***

Posté par
verdurinre : Espérance conditionnelle 10-10-18 à 13:52

Bonjour,
pour répondre à la question de départ :

Citation :
Soient X1 et X2 des variables aléatoires indépendantes, de lois exponentielles de même paramètre .

Calculer E(X1 sachant min(X1,X2)).
on peut utiliser des méthodes élémentaires.

Par exemple, en posant Z=min(X1,X2), on a

P(X1=z | Z=z)=P(X2=z | Z=z)=1/2 et P(X1>z | Z=z)=P(X2>z | Z=z)=1/2  ( démonstration facile ).

E(X1 | X1=z)=z
E(X1 | X1>z)=z+1/

D'où E(X1 | Z=z)=z+1/(2).

C'est peut-être indigne d'un étudiant en M1 actuel, mais c'est suffisant.
À condition, bien entendu, de justifier les égalités.


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