Niveau Master

Estimateur du maximum de vraisemblance

Posté par
Togodumnus 20-05-14 à 11:09

Bonjour,

On me donne une statistique $T_n(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n e^{-X_i}$ qui est un estimateur sans biais efficace d'un paramètre $g(\theta) = \frac{1}{\theta}$ .
Désormais, on aimerait estimer le paramètre $\theta$ et par étude du maximum de vraisemblance, je trouve $\hat{\theta_n} = \frac{1}{T_n} = \frac{n}{nT_n}$ .

Puis on me demande si cet estimateur est sans biais. Je suis bloqué, je regarde donc le corrigé, qui me dit que $e^{-X_i}$ suit une $\mathcal{E}(\theta) = \Gamma(\theta,1)$ donc que $nT_n$ suit une $\Gamma(\theta,n)$ . Jusque là, tout va très bien.

Puis après ça, le corrigé me dit $E_{\theta}[\hat{\theta_n}] = \int_0^{+\infty} \frac{n}{x} \frac{\theta^n}{(n-1)!} e^{-\theta x} x^{n-1} dx$ . Je n'ai aucun problème pour finir le calcul, mais je ne comprends absolument pas d'où vient l'intégrale, on a parlé de la loi de $nT_n$ , pas de celle de $\frac{n}{T_n}$ ...

Merci pour votre aide, et bonne journée.

Posté par re : Estimateur du maximum de vraisemblance 20-05-14 à 11:10

Petite coquille : "on a parlé de la loi de $nT_n$ , pas de celle de $\frac{n}{nT_n}$ ".
Désolé pour le double post.

Posté par re : Estimateur du maximum de vraisemblance 20-05-14 à 13:17

Bonjour,
Je comprend pas trop d'ou vient ton souci, c'est une application du theoreme de transfert (par exemple).
Si tu notes X, la va nT_n, alors tu calcules E[1/X] qui est l'intégrale de 1/x contre la densité de X.

Posté par re : Estimateur du maximum de vraisemblance 20-05-14 à 13:32

Bonjour,

En effet, la notation avec les espérances me trompera toujours... Merci et bonne journée à toi.