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Estimation de l'aire occupée par la fonction sinus

Posté par
Cabzn 27-12-19 à 00:13

Bonjour, je sais que cette question a déja été traitée dans un post ancien mais je n'ai pas du tout compris l'explication à une qestion (la 3b).

Alors voila l'énoncé de l'exercice :
  Le but est d'estimer la longueur l de l'arc de Courbe représentative de sinus sur [0;\pi]
Pour cela on subdivise [0;\pi] en n2 intervalles de lg  \frac{\pi}{n} et on approche la courbe par une ligne brisée qui relie dans l'ordre les points de coordonnées (\frac{k\pi}{n}
; sin\frac{k\pi}{n}) pour k {0,1,2,...,n}.
On note ln la longueur de la ligne brisée.

(Je note les questions que j'ai réussi pour comprendre la suite de l'exo)

1) Calculer la  valeur exacte de l2 et l3
2) L'algo suivant, destiné à afficher en sortie la longueur ln en fonction de n, est incomplet, compléter l'instruction manquante, programmer et donner l'afficher de l1000 (je note en gras la partie manquante
n=float
l=0
for i in range (0;n-1):
    l=l+\sqrt{(\frac{\pi}{n})^2+(sin(\frac{(i+1)\pi}{n})-sin(\frac{i\pi}{n}))^2}
print (l)
On trouve l1000 = 3,82...

3)a)Modifier l'algorithme précédent pour approcher l'aire An du domaine délimité par l'ac et l'axe des abscisses. Vérifier que cette aire semble tendre vers 2 lorsque n tend vers +inf.

Alors j'ai considéré chaque partie comme étant des trapèzes donc d'après la formule A=1/2 (B+b) * h

je remplace donc par :
\frac{1}{2}*(sin(\frac{(i+1)\pi}{n})+sin(\frac{i\pi}{n}))*\frac{\pi}{n}

Quand je teste pour A1000 je trouve environ 1,999.. soit proche de 2, on vérifie que ca semble tendre vers 2 lorsque n tend vers +inf

3)b)On admet que \lim_{n\rightarrow +\propto }A_{n}=2, en déduire que \lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{k=n}{sin\frac{k\pi}{n}}=\frac{2}{\pi}

Alors maintenant que j'ai trouvé ce qu'il fallait mettre dans l'algo j'en déduit :\lim_{n\rightarrow +\propto }\sum_{i=0}^{i=n-1}{\frac{1}{2}*(sin(\frac{(i+1)\pi}{n})+sin(\frac{i\pi}{n}))*\frac{\pi}{n}}=2

on factorise, on généralise l'expression pour que ca ne soit pas uniquement valable dans l'algo on trouve :
\lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{\pi}{2n}\sum_{k=1}^{k=n}{sin\frac{k\pi}{n}+sin\frac{(k-1)\pi}{n}}=2

De la je vois parfaitement qu'il faudrait simplifier les sinus pour avoir 2sin\frac{k\pi}{n} et alors avoir : \lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{\pi}{2n}\sum_{k=1}^{k=n}{2sin\frac{k\pi}{n}}=2 \Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{\pi}{n}\sum_{k=1}^{k=n}{sin\frac{k\pi}{n}}=2 \Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{k=n}{sin\frac{k\pi}{n}}=\frac{2}{\pi}

Mais du coup voila ma question, comment simplifier ses sinus pour qu'ils se simplifient et qu'on puisse en déduire ce qu'il y a a déduire, dans l'ancien tread il était simplement mentionné que ca se simplifiait car la grande base d'un trapèze était la petite base du suivant mais je n'ai pas compris comme ca..

Merci beaucoup pour votre aide !  

Posté par
mathafou Moderateurre : Estimation de l'aire occupée par la fonction sinus 27-12-19 à 11:02

1er trapèze :

h\dfrac{f(0)+f(h)}{2}

2ème trapèze :

h\dfrac{f(h)+f(2h)}{2}

3ème trapèze :

h\dfrac{f(2h)+f(3h)}{2}

...
dernier trapèze :

h\dfrac{f((n-1)h)+f(nh)}{2}

si je fais la somme

\overbrace{h\dfrac{f(0)}{2} + h\dfrac{{\red f(h)}}{2} }^{1er\;trap}+\overbrace{h\dfrac{{\red f(h)}}{2} + h\dfrac{f(2h)}{2} }^{2eme\;trap} +\overbrace{h\dfrac{f(2h)}{2} + h\dfrac{f(3h)}{2} }^{3eme\;trap} + ... + \overbrace{h\dfrac{f((n-1)h)}{2} + h\dfrac{f(nh)}{2} }^{dernier\;trap}

soit
h \dfrac{f(0)}{2} + h f(h) + h f(2h) + ... + h f((n-1)h) + h \dfrac{f(nh)}{2}

car   \dfrac{f(h)}{2}   du premier trapèze ajouté à   \dfrac{f(h)}{2}   du 2ème trapèze ça fait   f(h)   tout court etc

soit   h\left(\dfrac{f(0)}{2}+\sum_{k=1}^{n-1} f(k h) + \dfrac{f(n h)}{2}\right)

seul le 1er et le dernier terme sont divisés par 2 et en dehors de la somme générale
mais pas le terme courant dans le \sum

et ce quelle que soit la fonction f

ici   f(0) = f(n h) = f(\pi) = 0
de sorte qu'il ne reste que les termes du milieu non divisés par 2 :   S = \dfrac{\pi}{n}\sum_{k=1}^{n-1} h\sin(\frac{\pi}{k})

on peut mettre les termes k = 0 et k = n sans rien changer parce qu'il;s sont nuls mais avec ces termes là dans la somme (somme de 0 à n) la formule serait fausse pour une autre fonction qu'une fonction qui s'annule aux bornes de l'intervalle

Posté par
mathafou Moderateurre : Estimation de l'aire occupée par la fonction sinus 27-12-19 à 11:07

un h en trop dans la dernière formule (h = pi/n est déja mis en facteur devant)

Posté par
Cabznre : Estimation de l'aire occupée par la fonction sinus 27-12-19 à 12:33

Merci beaucoup pour votre temps c'était tres bien expliqué j'ai tout compris !


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