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Etude d'une suite récurrente

Posté par
carrocel 16-05-21 à 16:15

Bonjour

J'ai une question sur un pb de maths (je retravaille des notions du supérieur et de temps en temps, je fais des sujets de DM pour travailler mon objectif) et pour ce problème dont je n'ai pas le corrigé je coince sur une question.
Il s'agit d'étudier une suite récurrente (Un) définie par U0=x; U1=y où x et y sont positifs et Un+2= (Un²+(Un+1)²)/2. On note S l'ensemble de ces suites.
Historique du pb :
- On a les suites constantes de S, j'ai montré que les limites possibles étaient 0, 1 ou \+\infty
- On a montré que toute suite de S ayant trois termes consécutifs égaux est cste, tte suite de S qui a deux termes consécutifs égaux à 1 est cste, toute suite de S dont un terme autre que les 2 premiers est nul est constante.
- On a montré que Un+3-Un+2 et Un+2-Un sont de même signe.
- Si (Un) est une suite non constante de S, alors si U_N+2 supérieur à U_N+1 et U_N alors (Un) croissante à partir du rang N+1 (de même si U_N+2 inférieur à U_N+1 et U_N alors (Un) décroissante à partir du rang N+1)
et mon pb arrive là :
On suppose que (Un) est une suite de S non constante et n'est pas monotone à partir d'un certain rang
a- Montrer que U_n+3 -  U_n+1 et U_n+2 - U_n st de signe contraire

J'ai traduit non monotone par il existe un entier N tel que U_N<=U_N+1 et U_N+1>= U_N+2 mais je coince  ensuite

Puis question b montrer que (U_2n) et (U_2n+1) sont monotones de sens contraires. La suppose qu'il faut utiliser une récurrence et la question précédente.

mais j'ai encore un pb pour la question c- Montrer que (U_n) converge vers 1.

Je comprends pourquoi il en est ainsi (je dirais que les suites (U_2n) et (U_2n+1) sont adjacentes et sont extraites de (U_n) donc (U_n) cv. Pour la limite, effectivement, ça ne peut être que 1 car on peut supposer (U_2n) croissante et comme les termes sont positifs, la limite ne peut pas être 0 et comme elle est majorée par U_1, elle converge vers une limite finie qui ne peut être que 1 compte-tenu du départ...est-ce assez rigoureux ?

Je vous remercie de votre aide.

Posté par
carpediemre : Etude d'une suite récurrente 16-05-21 à 16:44

salut

tu as mal traduit la non monotonie  : ce que tu proposes est un cas particulier ...

mais tu peux très bien avoir 10 termes croissants puis 20 termes décroissants puis ...

mais tu as de la chance !! ici ton cas particulier est vrai ...

il me semble que tu te compliques la vie : pourquoi ne suis-tu pas la question ?

calcules u_{n + 3} - u_{n + 1} $ et $ u_{n + 2} - u_n

...

Posté par
carrocelre : Etude d'une suite récurrente 16-05-21 à 19:01

Merci de ta réponse

Pour la non monotonie, je ne comprends pas ta remarque car si on a 10 termes où la suite est croissante (par exemple les 10 premiers) puis les 20 suivants où la suite est décroissante, il y a donc bien un rang N pour lequel U_N<=U_N+1 et U_N+1>= U_N+2 dans le cas ci-dessus, il s'agirait de N=8  (ca pourrait être l'inverse U_N>=U_N+1 et U_N+1<=U_N+2 d'ailleurs mais ça ne pose pas de pb)..Je ne comprends donc pas mon erreur..

C'est sûr que je me complique beaucoup, j'ai parfois du mal à exprimer à l'écrit ce que je comprends ou encore j'ai besoin d'être sûre que j'ai bien compris et qu'on me valide ou non un résultat

Pour le calcul, j'ai bien commencé par là mais je n'ai pas abouti...

Posté par
carpediemre : Etude d'une suite récurrente 16-05-21 à 19:12

oui mais ici il va y en avoir une infinité ... vu la suite de ton exo ...

et un seul terme où ça change ... ben donc après c'est monotone !!!

pour le calcul on attend de voir tes résultats ...

Posté par
carrocelre : Etude d'une suite récurrente 16-05-21 à 19:48

ok...Donc qd on dit non monotone, on exclu le cas où ca change de variations en un rang ou en un nombre fini de rangs ? D'ailleurs comment exprime t'on la non monotonie qd on a une suite "alternée" ? (Ici elle n'est pas alternée en signe mais c'est l'idée...) ?

Pour le calcul, le problème c'est que j'ai plusieurs possibilités et je ne vois pas où aller ensuite pour aboutir....J'ai joint mon brouillon (en espérant avoir le droit, désolée sinon) : j'ai la grosse impression de tourner en rond !

Merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Etude d'une suite récurrente 16-05-21 à 19:56

Bonjour carrocel

Citation :
\boxed{i} - ... j'ai montré que les limites possibles étaient 0, 1 ou +\infty
\boxed{ii} - On a montré que toute suite de S ayant trois termes consécutifs égaux est cste, tte suite de S qui a deux termes consécutifs égaux à 1 est cste, toute suite de S dont un terme autre que les 2 premiers est nul est constante.
\boxed{iii} - On a montré que Un+3-Un+2 et Un+2-Un sont de même signe.
\boxed{iv} - Si (Un) est une suite non constante de S, alors si U_N+2 supérieur à U_N+1 et U_N alors (Un) croissante à partir du rang N+1 (de même si U_N+2 inférieur à U_N+1 et U_N alors (Un) décroissante à partir du rang N+1)


je suppose que tu as montré les résultats ci-dessus.

Citation :
On suppose que (Un) est une suite de S non constante et n'est pas monotone à partir d'un certain rang


alors il n'est pas difficile de voir que cette supposition implique (d'après ce que j'ai noté \boxed{iv}) que :

\Large \boxed{\forall n\in\mathbb N ~,~ \min\left(u_n,u_{n+1}\right)<u_{n+2}<\max\left(u_n,u_{n+1}\right)}

ceci veut dire que chaque terme de la suite (u_n) est strictement compris entre les deux termes qui le précédent.

Fais un dessin des deux scénarios possibles et tu verras qu'on a :

\boxed{a} \Large \boxed{\forall n\in\mathbb N ~,~ \left(u_{n+3}-u_{n+1}\right)\left(u_{n+2}-u_n\right)<0} sauf erreur de ma part bien entendu


Bonjour carpediem

Posté par
carpediemre : Etude d'une suite récurrente 16-05-21 à 20:43

si u_0 = x \ge 0 $ et $ u_1 = y \ge 0 $ et $ u_{n + 2}= \dfrac 1 2 (u_{n + 1}^2 + u_n^2)

je ne vois pas comment on peut obtenir 0 sans que les deux premiers termes ne soient nuls puisque u_{n + 2}= 0 \Longrightarrow u_{n + 1} = u_n = 0

Posté par
carrocelre : Etude d'une suite récurrente 16-05-21 à 20:56

Oui j'avais bien montré tout ça. Merci de votre aide précieuse : j'ai compris !

Est- ce que mes idées de raisonnement pour la 6b et la 6c sont bonnes ? (Cf 1er message)

Oui, carpediem, effectivement, s'il existe un terme pour lequel U_N=0 alors les 2 termes qui  le précèdent sont nuls donc d'après une question précédente qui nous a fait montrer que si une suite de S a trois termes consécutifs égaux alors la suite est constante, on en déduite que cette suite est constante et égale à 0.

Posté par
carpediemre : Etude d'une suite récurrente 16-05-21 à 21:03

certes mais tu écris

Citation :
toute suite de S dont un terme autre que les 2 premiers est nul est constante.

Posté par
carrocelre : Etude d'une suite récurrente 16-05-21 à 21:07

oui c'est l'énoncé qui est donné...Donc effectivement ce n'est pas possible...Cela aurait dû être formulé en montrer que si les 2 premiers termes ne sont pas nuls, la suite ne peut pas s'annuler...un truc dans le style...


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