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etude de continuité

Posté par
khal12 02-11-22 à 13:03

Bonjour
Je n'arrive pas à résoudre cet exercice :
Etudier la continuité de f tel que :
   Soit f(x)=cos(x)   si x∈Q
   ou soit f(x)=sin(x)   si x∈R\Q

Voila comment j'ai procédé
   Soit x∈Q donc cos(x)=sin(π/2+x)=sin(X) tel que X∈R\Q
après je ne sais pas comment continuer pour faire entrer la limite, est ce que je dois mentionner la densité de Q dans R ?
Merci pour votre aide

Posté par
carpediemre : etude de continuité 02-11-22 à 13:18

salut

tu peux déjà t'intéresser à la continuité (éventuelle) de f en 0 ...

en considérant la suite u_n = 1/n par exemple ...

Posté par
khal12re : etude de continuité 02-11-22 à 13:48

D'accord merci
donc soit x∈R\Q tq x= lim(1/n)
lim en 0 de cos(x)= lim en +∞ de sin(π/2+1/n)=f(0) d'où f est continue en 0
C'est juste comme raisonnement ou peut etre je suis totalement à coté ?

Posté par
carpediemre : etude de continuité 02-11-22 à 14:26

je ne comprends rien de ce que tu fais !!!

réfléchis-tu un eu ?

si u_n = 1/n il est évident que lim u_n = 0

or u_n est ... donc f(u_n) = ... et lim f(u_n) = ...

considérons maintenant la suite v_n = pi/n

il est clair que lim v_n = ...

or v_n est ... donc  f(v_n) = ... et lim f(v_n) = ...

conclusion ?

Posté par
khal12re : etude de continuité 02-11-22 à 15:57

OK j'essaye de remplir les pointillés

si u_n = 1/n il est évident que lim u_n = 0

or u_n est .. rationnel. donc f(u_n) = .cos(Un).. et lim f(u_n) = .cos(0)..

considérons maintenant la suite v_n = pi/n

il est clair que lim v_n = ..0.

or v_n est .. irrationnel. donc  f(v_n) = .sin(Vn).. et lim f(v_n) = .cos(0)..

conclusion : f est continue en 0

Posté par
carpediemre : etude de continuité 02-11-22 à 16:43

khal12 @ 02-11-2022 à 15:57

si u_n = 1/n il est évident que lim u_n = 0

or u_n est .. rationnel. donc f(u_n) = .cos(Un).. et lim f(u_n) = .cos(0) = ...  = ...      il y a bien deux choses à compléter

considérons maintenant la suite v_n = pi/n

il est clair que lim v_n = ..0.

or v_n est .. irrationnel. donc  f(v_n) = .sin(Vn).. et lim f(v_n) =.cos(0).. faux

conclusion : f est continue en 0  faux

Posté par
khal12re : etude de continuité 02-11-22 à 16:52

khal12 @ 02-11-2022 à 15:57

.. et lim f(v_n) = .cos(0)..

conclusion : f est continue en 0


Dsl là je crois que j'ai commis une erreur
Je voulais dire lim (Vn)=sin(0) donc f n'est pas continue en 0

Posté par
khal12re : etude de continuité 02-11-22 à 16:55

khal12 @ 02-11-2022 à 15:57

.. et lim f(v_n) = .cos(0)..

conclusion : f est continue en 0


Dsl là je crois que j'ai commis une erreur
Je voulais dire lim (Vn)=sin(0) donc f n'est pas continue en 0

Posté par
khal12re : etude de continuité 02-11-22 à 17:02

khal12 @ 02-11-2022 à 15:57

.. et lim f(v_n) = .cos(0)..

conclusion : f est continue en 0


Dsl là je crois que j'ai commis une erreur
Je voulais dire lim (Vn)=sin(0) donc f n'est pas continue en 0

Posté par
khal12re : etude de continuité 02-11-22 à 17:19

khal12 @ 02-11-2022 à 15:57

.. et lim f(v_n) = .cos(0)..

conclusion : f est continue en 0


Dsl là je crois que j'ai commis une erreur
Je voulais dire lim (Vn)=sin(0) donc f n'est pas continue en 0

Posté par
carpediemre : etude de continuité 02-11-22 à 18:27

il serait bien de reprendre ce que j'ai écrit et de le compléter proprement afin de conclure ...

Posté par
khal12re : etude de continuité 02-11-22 à 18:43

carpediem @ 02-11-2022 à 14:26


Ok je reprends
si u_n = 1/n il est évident que lim u_n = 0

or u_n est ..rationnel. donc f(u_n) = .cos(Un).. et lim f(u_n) = .lim (lorsque Un tend vers 0) de cos(Un)=cos(0)=f(0)=1..

considérons maintenant la suite v_n = pi/n

il est clair que lim v_n = .0..

or v_n est .. irrationnel. donc  f(v_n) = .sin(Vn).. et lim f(v_n) = ..lim (lorsque Vn tend vers 0) de sin(Vn)=0.

conclusion f n'est pas continue en 0

Posté par
carpediemre : etude de continuité 02-11-22 à 20:49

ok !

Posté par
khal12re : etude de continuité 02-11-22 à 21:13

Et pour la suite svp pour R* ?

Posté par
carpediemre : etude de continuité 03-11-22 à 00:23

vu que Q est dense dans R ...

Posté par
luzakre : etude de continuité 03-11-22 à 09:25

Bonjour carpediem !
Il y a quand même les cas \dfrac{\pi}4+2k\pi qui doivent être étudiés.

Un conseil à khal12 :
Fais les dessins des courbes représentant "sin" et "cos" et essaies de comprendre ce qui se passe quand les courbes se rencontrent et ... aussi pour les abscisses  (qu'elles soient rationnelles ou pas) des points qui ne sont pas communs à ces courbes.

Posté par
carpediemre : etude de continuité 03-11-22 à 09:50

luzak : oui bien sûr je voulais parler de ces cas particuliers ensuite !!

Posté par
khal12re : etude de continuité 03-11-22 à 19:37

Salut carpediem et luzak; je vous remercie infiniment pour votre aide et conseils
Voila mon essai
Par densité de Q dans R ; Soit U_{n}\in Q  tq   lim\left(U_{n} \right)=t\in R\Q
et par densité de R\Q dans R ; soit V_{n}\in R\Q  tq   lim\left(V_{n} \right)=t'\in Q
On aura alors :  lim f\left( U_{n}\right)=sin\left(t \right) \\   or  f\left(U_{n} \right)=cos\left(U_{n} \right) \\
mais cos\left(U_{n} \right)=sin\left(t \right)\Rightarrow U_{n}=\frac{\pi }{4}+k\pi ce qui est impossible puisque  U_{n}\in Q
D'un autre coté on aura de la même façon  lim f\left( V_{n}\right)=cos\left(t' \right) \\   or f\left(V_{n} \right)=sin\left(V_{n} \right) \\   et  cos\left(t' \right)\neq sin\left(V_{n} \right)  (puisque  t'\neq \frac{\pi }{4}+k\pi )
D'où la conclusion que f n'est nulle part continue sur R

Posté par
carpediemre : etude de continuité 03-11-22 à 19:59

ce n'est vraiment pas clair !! et je dirai même que je n'y comprends rien du tout ...

la densité de Q et de R/Q dans R permet d'affirmer que :

tout réel x peut être approché aussi bien par une suite de rationnels (q_n) que par une suite de réels non rationnels (r_n)  (*)

premier cas : f(q_n) = ... et calcul de la limite
second cas  :  f(r_n) = ... et calcul de la limite

conclusion ?

(*) il suffit de considérer par exemple r_n = q_n + \dfrac 1 {n\pi}

Posté par
khal12re : etude de continuité 03-11-22 à 21:07

D'accord je commence par le second cas svp

carpediem @ 03-11-2022 à 19:59


tout réel x peut être approché aussi bien par une suite de rationnels (q_n) que par une suite de réels non rationnels (r_n)  (*)

premier cas : f(q_n) = ... et calcul de la limite
second cas  :  f(r_n) = ... et calcul de la limite

conclusion ?

(*) il suffit de considérer par exemple r_n = q_n + \dfrac 1 {n\pi}
Donc f(r_n)=sin(r_n) et lim (r_n)=q_n ce qui fait lim[f(r_n)]=f(lim(r_n))=f(q_n)=cos(q_n) est ce que c'est correct pour l'insstant ?

Posté par
carpediemre : etude de continuité 03-11-22 à 21:44

non tu mélanges tout !!!

les suites (q_n) et (r_n) convergent vers x € R

f(q_n) = ... donc lim f(q_n) = ...

f(r_n) = ... donc lim f(r_n) = ...

car ... (justification demandée)

conclusion ?

Posté par
luzakre : etude de continuité 04-11-22 à 07:53

Je me permets de renouveler mon conseil.

Si \cos a\neq\sin a tu peux choisir une suite de rationnels n\mapsto u_n qui converge vers a ET une suite d'irrationnels n\mapsto v_n qui converge vers a et tu conclus.

Si \cos a=\sin a, pour montrer la continuité, tu ne peux plus choisir des suites qui t'arrangent. Par exemple l'épicier du coin (ce n'est pas une blague mais une réminiscence d'un de mes profs) te donne une suite n\mapsto x_n qui converge vers a et tu dois prouver que la suite image n\mapsto f(x_n) (pas les suites n\mapsto\cos(x_n) ou n\mapsto \sin(x_n)) converge vers f(a).


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