Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau BTS
Partager :

etude de fonction

Posté par
severinette
26-04-08 à 01:02

Bonsoir , j'ai la fonction suivante : f(x) = x² - 2 ln(x) - 1 .

a) Etudier ses variations .

Facile , f est décroissante sur ]0,1[ , nulle en 1 et croissante sur ]1,+infini[ .

b) Quelle est l'image de l'intervalle ]0,infini[ par f ?

Je trouve ]-infini,+infini[ , en calculant les limites .

c) vérifier que f''(x) => 2 pour x > 0 .

f''(x) = 2x²+2 / x² , donc j'ai fait

(2x²+2)/x² > 2

2x²+2 > 2x² , ici c'est évident , 2 > 0 , donc c'est ok .

d) Soit a > 1 un nombre réel . En écrivant la formule de taylor-lagrange à l'ordre 1  , sur l'intervalle [1,a] , trouver une minoration de f(a) .

Alors 1. pq à l'ordre 1 ça fait intervenir la dérivée seconde , c'est pas pareil que taylor young l'ordre ?

donc voici la formule :

f(b) - f(a) = (b-a)f'(a) + (b-a)²/2 f''(c)



en fait je ne comprends pas bien la question , si quelqu'un pouvait m'expliquer le sens svp , je vous remercie .

Posté par
carpediem
étude de fonction 26-04-08 à 01:25

vu les variations de ta fonction et le fait qu'elle est continue es-tu sure de tes limites ?
(vu qu'elle a un minimum en 1)

f"(x) = 2(1+1/x²) > 2*1 tout simplement

Taylor-Lagrange c'est simplement le thé. des accroissements finis appliqué à l'ordre n

Taylor-Young c'est juste que le reste à l'ordre n est hno(1)

donc c'est simplement l'écriture du reste qui change

ensuite tu a minoré ta derivee f" et tu connais le signe de f'x) quand x>1 donc ça devrait aller

Posté par
severinette
re : etude de fonction 26-04-08 à 01:31

oui je suis certaine de mes limites , j'ai vérifié avec un logiciel d'ailleurs .

"Taylor-Lagrange c'est simplement le thé. des accroissements finis appliqué à l'ordre n"

oui mais alors pq l'ordre 1 fait intervenir la dérivée seconde ?

"ensuite tu a minoré ta derivee f" et tu connais le signe de f'(x) quand x>1 donc ça devrait aller"

non ça ne va pas , je ne sais pas ceux qu'ils veulent dire par minoration , une fonction ? et vu que je comprends pas du tout taylor lagrange ici et le dérivée seconde je peux pas avancer sans m'expliquer cecici...

Posté par
carpediem
etude de fonction 26-04-08 à 01:54

le the des accroissements finis est f(b) - f(a) = (b-a)f'(c)

donc à l'ordre 0 tu fais intervenir ta dérivée...

à l'ordre n tu fais intervenir ta dérivée n+1

donc à l'ordre 1 tu appliques le the des af à ta dérivée donc il apparait f"

donc tu écrit : f(a) =f(1) + ...

limite: f(0)= f()=+

ce me semble-t-il

Posté par
gui_tou
re : etude de fonction 26-04-08 à 11:21

Saloute

Juste pour les limites :

3$\lim_{x\to0+}\,f(x)=+\infty

3$\lim_{x\to+\infty}\,f(x)=+\infty

Donc ton 3$\fbox{f\(]0,+\infty[\) est faux.

Posté par
severinette
re : etude de fonction 26-04-08 à 12:34

ok mais quelqu'un peut il m'expliquer le truc avec lagrange svp c'est très important...

Posté par
severinette
re : etude de fonction 26-04-08 à 13:53

je ne sais pas par quoi remplacer a , b et c dans la formule de lagrange pour répondre à la question...

Posté par
severinette
re : etude de fonction 26-04-08 à 14:39

et gui tou l'image de ]0 + infini[ c'est quand meme pas [0,+infini[ ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : etude de fonction 26-04-08 à 14:42

Salut severinette!

Sisi, c'est bien ça!

Posté par
severinette
re : etude de fonction 26-04-08 à 14:46

salut tig , ah enfin un sauver , mais pq c'est [0,+infini[ vu que notre ami guitou a trouvé comme limites infini , infini , l'image c'est les limites non ?

et par hasard aurais tu une explication pour lagrange car je vais devenir folle

Posté par
severinette
re : etude de fonction 26-04-08 à 14:46

sauveur*

Posté par
Tigweg Correcteur
re : etude de fonction 26-04-08 à 14:52



L'image n'est pas forcément les limites comme tu dis, ceci n'est vrai que pour une fonction monotone.

Or ta fonction est décroissante jusqu'en x=1 puis croissante avec f(1)=0, donc à cause des limites, f est positive, et à cause de la continuité, l'image est tout l'intervalle [0;+infini[.

Lagrange à l'ordre 2 ne fait intervenir que des dérivées d'ordre 1 et 2, et l'ordre 1 ne fait PAS intervenir la dérivée seconde!

Posté par
severinette
re : etude de fonction 26-04-08 à 14:55

non mais ici je dois écrire la formule de lagrange à l'ordre 1 , c'est ce que j'ai fait , par quoi dois je remplacer a,b,c pour répondre à la question , je comprends mal là...

Posté par
Tigweg Correcteur
re : etude de fonction 26-04-08 à 14:59

Oui, et tu l'as écrite à l'ordre 2 justement, pas à l'ordre 1!

A l'ordre 1 ça donne juste, avec

f(a) - f(1) = f'(c).

Après minorer f(a) c'est dire à quoi il est supérieur.

Il suffit donc de savoir minorer f'(c)

Posté par
severinette
re : etude de fonction 26-04-08 à 15:03

tig c'est curieux car dans l'exercice les professeurs disent clairement que le reste( à l'ordre 1 ) fait intervenir une valeur de la dérivée seconde .

je ne comprends guère ta formule , la formule du cours c'est :

f(b) - f(a) = (b-a)f'(a) + (b-a)²/2 f''(c) , à l'ordre 1

que fais tu du b-a du f'(a) et du reste , j'avoue que je suis complètement larguée par tes réponses , aurais tu une petite explication stp ?

et dans la correction de ces annales ils mettent clairement la dérivée seconde...

Posté par
Tigweg Correcteur
re : etude de fonction 26-04-08 à 15:07

Oups pardon y a le facteur (a-1) qui est passé à la trappe!!

Je reprends, à l'ordre 1 on a f(a) - f(1) = (a-1)f'(c).

En revanche, j'ai toujours vu que la définition de T-L à l'ordre n ne fait intervenir que des dérivées d'ordre n ou inférieur.Après si tu as une autre définition dans ton cours, applique ce que tu pensais appliquer initialement, mais je suis surpris qu'ils vous aient changé les définitions habituelles!!

Posté par
severinette
re : etude de fonction 26-04-08 à 15:15

ben tig la correction de cette question c'est celle ci :

f(a) = f(1) + f'(1)(a-1) + f''(x)/2 (a-1)²

f(a) > (a-1)² , qu'en penses tu ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : etude de fonction 26-04-08 à 15:17

Oui c'est juste car f''(x)>2 et f(1)=f'(1)=0.

Posté par
severinette
re : etude de fonction 26-04-08 à 15:21

merci tigweg , merci bcp

par contre je peux me permettre une question : la formule de young permet d'avoir une approximation en un point , mais lagrange permet quoi ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : etude de fonction 26-04-08 à 15:24

Avec plaisir severinette.

Exactement pour Young!

Lagrange permet d'avoir une approximation (genre encadrement, minoration, majoration) globale sur un intervalle, exactement comme ce qu'on vient d'obtenir.

De plus il permet d'obtenir assez facilement une majoration de l'erreur commise en remplaçant la fonction par son approximation sur l'intervalle considéré: c'est l'inégalité de T-L.

Posté par
severinette
re : etude de fonction 26-04-08 à 15:26

merci tig t'as tjs des réponses simples et claires qui me sont utiles pour mieux appréhender les concepts . c'est avec ce genre de réponse qui décourage pas qu'on a envie d'approfondir .

Posté par
Tigweg Correcteur
re : etude de fonction 26-04-08 à 15:27

Super compliment, merci beaucoup et surtout très heureux que cela t'encourage, severinette! :)

Posté par
carpediem
etude de fonction 27-04-08 à 19:13

désolé Tygweg

j'ai fait un décalage dans les indices
tu as effectivement raison...

Posté par
Tigweg Correcteur
re : etude de fonction 27-04-08 à 21:13

Salut carpediem

Posté par
gui_tou
re : etude de fonction 27-04-08 à 21:25

En ce qui concerne 3$\fbox{f\(]0,+\infty[\), on a 3$\fbox{f\(]0,+\infty[\)=\{y\in{\bb R}\;/\;\exists x\in]0,+\infty[,\;y=f(x)\;\}=\fbox{[0,+\infty[

C'est donc l'ensemble des y de R tel qu'il existe un antécédent de y par f.

Graphiquement, on peut le voir comme ça : etude de fonction

Pour tout y de 3$[0,+\infty[, l'équation y=f(x) a au moins une solution.

Si cette équation admettait une unique solution, alors f réalise une bijection de 3$]0,+\infty[ dans 3$[0,+\infty[

Sauf bêtise



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1699 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !