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Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:34

il faut regarder si -1 et 1 sont dans ces intervalles

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:39

Pourquoi -1?

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:43

parce que le signe de la derivee est celui de a*(x^2-1)

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:44

Ok mais moi je parle des racines de la fonction pas de la dérivée

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 07-11-20 à 22:45

Lorsque je trace des graphes pour a<-2 la fonction f n'a pas de racine et c'est ça que je ne parvient pas à justifier

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 08:57

zPersianBoy @ 07-11-2020 à 22:29

<-; (a-sqrt(a^2 -4))/2) compris , union ,
(a+sqrt(a^2 -4)/(2) ;( -a-sqrt(a^2 -4)/(2) tout deux compris, union ,[ (-a+sqrt(a^2 -4)/(2)) jusqu'à l'infini
Si a < -2

oui il y a donc 2 trous dans le domaine de definition
il faut regarder où se situent -1 et 1 (dans le trou ou à gauche ou à droite)
par ex pour a=-3 le tableau des signes de f'(x) est:

\\ \left(\begin{array}{cccccccccccc} \\ x & -\infty  &   & \frac{(-\sqrt{5}-3)}{2} &   & \frac{(\sqrt{5}-3)}{2} &   & \frac{(-\sqrt{5}+3)}{2} &   & \frac{(\sqrt{5}+3)}{2} &   & +\infty  \\ \\ -\frac{3\cdot (x-1)\cdot (x+1)}{(x^{2}+1) \sqrt{x^{4}-7\cdot x^{2}+1}} & 0 & - & \mathrm{||} & X & \mathrm{||} & + & \mathrm{||} & X & \mathrm{||} & - & 0 \\ \end{array}\right) \\

on voit ici que -1 et 1 sont dans les trous (symbole X pour non defini)
en fait il suffit de savoir si 1 est à gauche ou à droite de (3+sqrt(5))/2
et si -1 est à gauche ou à droite de (-3-sqrt(5))/2
à toi de generaliser pour a<-2 (a quelconque)

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 12:28

Mais ducoup la fonction admet-elle des points d'intersection avec l'axe des x ?

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 13:47

oui quand a*x/(x^2+1)=1

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 14:03

Justement c'est ici que j'ai un problème par exemple avec a = -3 lorsque je trace le graphe je vois qu'il n'y a pas de racine

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 14:16

solve(acos(-3*x/(x^2+1))=0) renvoie list[(-(sqrt(5))-3)/2,(sqrt(5)-3)/2]
solve(acos(a*x/(x^2+1))=0) renvoie list[-(-a+sqrt(a^2-4))/2,-(-a-(sqrt(a^2-4)))/2] (sous reserve d'existence)

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 14:53

pour a <-2 je trouve que -1 et 1 se situe dans les deux intervalles ou la fonction n'est pas définie

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 14:56

oui on en deduit le signe de la derivee

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 15:05

Négatif sur <-; a-sqrt (a^2 -4)/(2)
Positif entre a+ sqrt(a^2 -4)/2 et -a-sqrt(a2 -4)/2
Et puis négatif sur le dernier intervalle

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 15:07

Ducoup il n'y a aucun extrêma

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 15:57

0 et pi sont des extrema

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 16:00

Ah bon? Je n'ai pas du tout trouvé ça

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 17:11

ce sont des extrema mais la derivee ne s'annule pas, exemple avec a=-3

\\ \left(\begin{array}{cccccccccccccc} \\ x & -\infty  &   & \frac{(-\sqrt{5}-3)}{2} &   & \frac{(\sqrt{5}-3)}{2} &   & 0 &   & \frac{(-\sqrt{5}+3)}{2} &   & \frac{(\sqrt{5}+3)}{2} &   & +\infty  \\ \\ f'(x) & 0 & - & [-\infty ,\infty ] & X & [\infty ,+\infty ] & + & \mathrm{||} & + & [+\infty ,\infty ] & X & [\infty ,-\infty ] & - & 0 \\ \\ f(x) & \frac{1}{2} \cdot \pi  & \searrow  & 0 & X & 0 & \nearrow  & \frac{1}{2}\cdot \pi  & \nearrow  & \pi  & X & \pi  & \searrow  & \frac{1}{2}\cdot \pi \\ \end{array}\right) \\

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 17:28

Ce sont des extrema pour tout a <-2?
Et pour les tangentes aux bornes du domaine ici il n'y en a pas ?

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 17:35

tu dois le voir sur les graphes animes
ce sont toujours des extrema
les tangentes aux bornes sont des demi tangentes verticales (la limite de f' est l'infini)

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 17:43

Ce ne serait pas plutôt des demi tangentes horizontale puisque dans votre tableau vous avez marqué qu'à l'infini f' vaut 0

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 17:45

Et pour les tangentes aux extrema comment faut il calculer la pente de la tangente en ces points ?

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 17:46

je parlais des 4 bornes reelles

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 17:59

Je n'arrive pas à trouver la limite de la dérivée en ces bornes réelles par calcul

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 18:25

\\ f'(x)=\dfrac{\left(x-1\right) \left(x+1\right) a}{\left(x^{2}+1\right) \sqrt{\left(-ax+x^{2}+1\right) \left(a x+x^{2}+1\right)}} \\
Quand x vaut l'une des 4 bornes vois tu ce que vaut la racine du denominateur ?

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 18:34

Ça vaut 0, je n'avais pas pensé à factoriser de cette manière

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 18:41

je t'aide avec mon logiciel de calcul formel à proximite (Xcas) ça aide

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 18:55

Concernant les extrema, les tangentes en ces points sont bien des demi tangentes verticales car situés aux bornes du domaine?

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 19:41

oui

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 21:09

C'est bon je pense avoir terminé
En tout cas un grand merci alb12 pour votre précieuse aide

Posté par
alb12re : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 21:12

Ce n'etait pas une petite affaire ! Bravo !
Tous mes voeux de reussite dans tes etudes

Posté par
zPersianBoyre : Étude de fonction avec paramètre 08-11-20 à 21:15

Merci beaucoup bonne continuation à vous aussi 😉

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