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Etude de l'espace l^p

Posté par
black8mamba 03-11-07 à 16:46

Bonjour à tous!!
Voici ma question:
Si u lp on pose Np(u)=(\sum_{i=1}^{+\infty} |u_n|^p)^1/p  , 1\le p\le+\infty

1) Montrer que (l^p,N_p) est un espace de Banach
2)Prouver que C0, le R-espace vectoriel des suites de réels nulles à partir d'un certain rang, est dense dans (l^p,N_p)
J'ai montré au préalable que:
-> Np est une norme
-> Si p1, l'ensemble l^p des suites réelles u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}} telles que |un|p converge peut être muni d'une structure de R-espace vectoriel pour les lois usuelles.

Pour la 1) je suppose qu'il faut considérer une suite de Cauchy d'éléments de l^p et montrer qu'elle converge mais j'ai du mal à aboutir!

Pour la 2) je ne vois pas comment faire?!

Donc si vous pouviez m'aidez ça serait avec grand plaisir...
Merci d'avance

Posté par
Cauchyre : Etude de l'espace l^p 03-11-07 à 17:13

Bonjour,

un exo similaire:

espace de banach/complet

Posté par
Cauchyre : Etude de l'espace l^p 03-11-07 à 17:15

Pour le 2), comment obtenir une suite de C0 à partir d'une suite U(n) dans l^p.

Posté par
black8mambare : Etude de l'espace l^p 03-11-07 à 20:28

Salut Cauchy
Le problème pour la 2) c'est que je vois pa quoi utiliser pour arriver à montrer la densité de C0. J'ai penser à ça: Montrons que : u lp,vnC0,vnu
Mais j'ai du mal à avancer!!!

Pour la 1) merci pour la référence de l'exo, j'ai pas encore regarder en détail mais je pense que ça pourra m'aider. Par contre le fait que ça soit sur (pour l'exo auquel tu fai référence) ça risque pas de changer pa mal de chose???

Bon allez je m'y met!!

Posté par
Cauchyre : Etude de l'espace l^p 03-11-07 à 21:19

Le fait que ce soit sur C ou R change juste la valeur absolue en module.

Pour le 2), essaie de construire des éléments de C0 en tronquant ta suite u(n).

Posté par
black8mambare : Etude de l'espace l^p 04-11-07 à 11:45

Qu'est ce que t'entends par tronquer la suite un?

Je me doute que c'est à partir d'une suite un qu'il faut travailler mais je ne vois pas du tout d'où va venir la densité?

Posté par
black8mambare : Etude de l'espace l^p 04-11-07 à 19:53

PlEASE HELP!!!
J'ai essayé de suivre ta piste Cauchy mais je bloque sur la "troncature" de la suite u(n). je vois pas du tout ce que c'est?? De plus je ne vois pas de comment est qu'il faut que je parte pour construire des éléments de C0.

Posté par
Cauchyre : Etude de l'espace l^p 04-11-07 à 21:29

Qu'est ce que tu penses de la suite de ne garder par exemple que les n premiers termes de ta suite.

Posté par
black8mambare : Etude de l'espace l^p 05-11-07 à 12:15

D'accord je ne considère que les n premiers termes de ma suite 2$u_n\in l^p mais commen faire apparaitre une suite 2$v_n->u?

Est ce que c'est à partir de la suite u(n) tronquée que je construit v(n)?
En fait on prend v(n) égale à u(n) pour les n premiers termes puis stationnaire à 0, c'est ça non?

Je suis pa sur de voir où tu veu en venir pour construire une suit de C0 à partir de u(n)...

Posté par
Cauchyre : Etude de l'espace l^p 05-11-07 à 17:39

Oui c'est cela tu vois bien que plus n est grand plus on considère de termes(tout en restant dans c0) et on se rapproche de nôtre suite initiale.

Posté par
black8mambare : Etude de l'espace l^p 05-11-07 à 20:20

Ok j'ai pigé l'idée merci beaucoup.

Mais en fait j'ai un peu peur, pour la rédaction, de m'embrouiller dans lesbindices.
Surtout pour la suite v... je me demande s'il faut une double indexation pour v ou si on ne conserve qu'un indice que l'on fait tendre vers +\infty.

Je sais pas si je suis très clair lol en tout cas si tu peux m'aider merci...

Posté par
black8mambare : Etude de l'espace l^p 05-11-07 à 20:41

Sinon j'aurai une autre question... et oui quand yen plu yen a encore!!!

Si on considère deux réels p1 et p2 tel que p1 \g p2\g 1
comment prouver que l^p2 \subset l^p1 et que cette inclusion est stricte?
j' ai commencé par considérer les suites u^k =(u^k_n)_n (k en indice bien sur) et telles que u^k_n= (n+1)^{-1/p2} si n\le k et =0 si n\g k
Et la j'ai penser rejoindre la question précédente...
est ce une bonne idée?

Ensuite je doi montrer que N_{p1} \le N_{p2} j'ai pas trop regarder mais sa semble faisable... en tout cas san difficulté majeures non?

Posté par
black8mambare : Etude de l'espace l^p 06-11-07 à 11:55

Est ce que quelqu'un peut m'aider???!!!

Posté par
Cauchyre : Etude de l'espace l^p 09-11-07 à 18:43

Tu poses la suite v(n,k) de suites telles que v(n,k)=(u(0),....u(n),0,0,0), et il faut faire tendre n vers l'infini.

On a: 3$||v(n,k)-u||_p^{p}=\sum_{k=0}^{+\infty} |u(k)-v^{n}(k)|^{p}=\sum_{k=n}^{+\infty}|u(k)|^p ceci tendant vers 0 avec n.

POur ta question si 1<p2<p1, montrer que l^p2 est inclus dans l^p1.

Si u est dans l^p2, |u(n)|^p2 tend vers 0 avec n donc est plus petit que 1 à partir d'un certain rang.

Ensuite 3$|u_n|^{p_1}=|u(n)|^{p_2}|u(n)|^{p_1-p_2} \leq |u(n)|^{p_2} à partir de ce fameux rang.

Posté par
black8mambare : Etude de l'espace l^p 10-11-07 à 13:55

D'accord!
merci de ton aide

Posté par
Cauchyre : Etude de l'espace l^p 10-11-07 à 14:33

De rien a+


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