Niveau Maths sup

étude de z²-2 exp(itéta)z+1=0

Posté par
hauwe 25-09-07 à 13:14

bonjour tout le monde g l'étude de cette équation a faire et je n'arrive pas en effet on me demande dans un premier temps de trouver les deux solution de cette équation. Je les ai trouver soit z1= exp(i*téta)+ racine(2*sintéta*exp(i(téta/2+pi/4))) et z2 qui est la même racine sauf que lon a exp(i*téta)-..........

on me demande ensuite de calculer exp(itéta)+i et exp(itéta)-i et je les aussi fait. Je trouve 2cos(téta/2-pi/4)*exp(i(téta/2+pi/4)) pour exp(itéta)+i et je trouve la même chose pour exp(itéta)-i avec sin au lieu de cos.

Or aprés on me demande de calculerZ'1=z1+i et Z'2=z2+i et je ne trouve pas le résultat il faut prouver que z'1 zt z'2 ont le même argument et que z'2 peut s'écrire.

2cos(téta/2-pi/4)-racine(2*sin téta)=racine(2)facteur de (cos téta/2+sin téta /2- racine(sint téta)).

Maerci d'avance pour votre aide merci au revoir.

Posté par re : étude de z²-2 exp(i*téta)*z+1=0 25-09-07 à 13:50

Crime impardonnable :
racine(2*sintéta*exp(i(téta/2+pi/4)))
un complexe sous le radical.
Vous ne pouvez pas lui donner un sens à votre niveau.
Donnez nous l'équation de départ.

Posté par re : étude de z²-2 exp(i*téta)*z+1=0 25-09-07 à 14:11

Bonjour hauwe,

tes solutions dépendent quand même de $\theta$ :

si $sin\theta$ est négatif, tes solutions sont fausses car $sqrt{sin\theta}$ n'a pas de sens, du coup il faut aussi traiter ce sous-cas.

A moins qu'on te dise, par exemple, que $\theta$ est compris entre $0$ et $\pi$ ?

Pour la suite, j'imagine que c'est le module de z'₂ qui est égal à ce que tu écris?
Si oui, c'est bien ce que j'ai prouvé.

En revanche, il faut quand même prouver auparavant que

$2cos(\frac{\theta}{2}-\frac \pi 4-\sqrt{2sin\theta}$ ,

c'est-à-dire

$\sqrt2[cos\frac \theta 2 +sin \theta 2 - \sqrt{sin \theta}]$

est bien positif, sans quoi il ne peut pas être le module d'un complexe!

Pour ceci, dans le cas où $\theta$ est compris entre $0$ et $\pi$ , on a

$a=cos(\frac {\theta} {2})>0$ et
$b=sin(\frac {\theta} {2})>0$ ,

de plus avec l'identité:

$sin a =2sin (\frac {a} {2})cos (\frac {a} {2})$

il vient:

$\sqrt2[cos\frac \theta 2 +sin \theta 2 - \sqrt{sin \theta}]=a+b-\sqrt{2ab}$ .

Or pour a et b positifs,

$a^2+b^2\ge 0$ implique

$a^2+b^2+2ab\ge 2ab$ , d'où

$(a+b)^2\ge (\sqrt{2ab})^2$ , et donc comme a+b et $\sqrt{2ab}$ sont positifs, il vient bien:

$a+b-\sqrt{2ab}\ge 0$ .

Ce n'est qu'alors qu'on peut affirmer que l'argument de z'₂ est bien $\frac \theta 2 +\frac \pi 4$ .

Un raisonnement analogue (mais plus immédiat) s'impose pour z'₁.

Tigweg

Posté par re : étude de z²-2 exp(i*téta)*z+1=0 25-09-07 à 14:14

Désolé, il fallait lire:

Citation :
$\sqrt2[cos\frac \theta 2 +sin \theta 2 - \sqrt{sin \theta}]=\sqrt 2[a+b-\sqrt{2ab}]$ .

au lieu de ce qui est écrit, mais l'étude du signe de l'expression ne change pas.

Posté par re : étude de z²-2 exp(i*téta)*z+1=0 25-09-07 à 14:51

xyz19750> Bonjour!

Je pense qu'en ce qui concerne le complexe sous la racine, il s'agissait sans doute d'une erreur de typographie de notre ami hauwe, qui voulait, je pense, ne faire porter son radical que sur le 2.

Tigweg

Posté par re : étude de z²-2 exp(i*téta)*z+1=0 25-09-07 à 18:09

g pas tout compris désolé pour le i mais la racine s'arrete apres le sin( téta)

Posté par re : étude de z²-2 exp(i*téta)*z+1=0 25-09-07 à 19:01

$z^2-2e^{i\theta}z+1=0, (z-e^{i\theta})^2=e^{2{i\theta}}-1=(e^{i\theta}-1)(e^{i\theta}+1)=2ie^{i\theta}sin{\theta}=i\sqrt{2}(e^{i\frac{\theta}{2}})^2sin{\theta}$ on peut écrire de nouveau $[\frac{z-e^{i\theta}}{\sqrt{2}e^{i\frac{\theta}{2}}}]^2=isin{\theta}$

Posté par re : étude de z²-2 exp(i*téta)*z+1=0 25-09-07 à 19:04

Reste à écrire isin(théta) comme carré d'un complèxe. Voilà ce que je peux proposer comme solutions mais à mon avis théta parcout un intervalle de longueur 2

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