Salut Rouliane,

C(X,Y) est complet, même si X n'est pas compact, il faut que Y soit complet.

Bonjour,

dans C(X,R) X compact permet de normer cet espace avec la norme du sup (histoire d'être sur que f a bien un sup)

BONJOUR , déja à  partir  quand on EVN compact implique  que  c'est  un fermée ce  qui aide  à  montrer que cette espace est  complet

ok merci à vous !

Salut Gauss-Tn mais il me semble que E n'est pas localement compact, donc pas compact non plus.

Par contre je pense que c'est pour éviter qu'on ait pour .
Ici, est bornée car continue et définie sur un compact.

Donc , et la norme est bien définie.

Gauss-Tn: je crosi que c'est plutôt

dans un evn de dimension finie, une partie compacte est fermée, non?

Bonjour à tous

romu > dans tout evn, une partie compacte est toujours fermée et bornée.
c'est la réciproque qui n'est vraie qu'en dimension finie (théorème de Riesz).

Kaiser

d'accord, je m'en rappelais plus.

Par contre il ne m'en semble pas que E est compact.
Je me rappelle avoir eu comme exemple que l'application n'a aucun voisinage compact.

E n'est évidemment pas compact car c'est un espace vectoriel non réduit au vecteur nul (en particulier, il est non borné).
Je suppose que c'était un lapsus et que tu voulais plutôt dire localement compact.
Dans ce cas, on peut de nouveau appliquer Riesz. En effet, si c'était le cas, il existerait des voisinages compacts, ce qui impliquerait la compacité d'une certaine boule fermée de rayon non nul. cette boule est homéomorphe à la boule unité (via une translation composée avec une homothétie) qui serait donc compact. ceci est absurde car E est de dimension infinie.

Kaiser

cela dit, il y a peut-être plus élémentaire comme preuve (c'est-à-dire sans utiliser Riesz).

Kaiser

En fait, plus généralement, cette preuve nous dit qu'un espace normé est localement compact si et seulement s'il est de dimension finie.

Kaiser

Bonjour Kaiser au fait

celle que j'avais eu en exemple est que pour tout , la suite définie par , ne contient aucune suite partielle convergente( compacité).

Si je ne me trompe pas, je crois qu'on peut faire plus simple :

pour x dans [0,1].

Chaque sous-suite converge simplement vers la même fonction f qui est non continue donc aucune sous-suite converge pour la norme uniforme, alors que cette suite est bornée.

Kaiser

plus précisément, il faudrait mettre un facteur k devant, comme pour le sinus.

Kaiser

oui effectivement.

Pour en revenir à la question de Rouliane,
si on aurait comme ensemble de départ au lieu de , l'application identique définie sur est continue mais ,
donc on ne peut pas munir de la norme sup.

BONJOUR , déja à  partir  quand on EVN compact implique  que  c'est  un fermée ce  qui aide  à  montrer que cette espace est  complet
Ca n'a absolument aucun sens... (aussi bien au niveau syntaxique que sémantique d'ailleurs ...)

Ici ce n'est pas l'EVN qui est compact, mais l'espace X.
Ensuite, compact implique fermé n'a pas de sens ici.
De plus, un espace métrique compact est toujours complet ...