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Niveau terminale
Exercice accroché à un resort
Posté par bambino28000
Bonjour a tous et a toutes j'ai un exercice de mathématiques que je n'arrive pas du tout a faire c'est la premiere que je post sur ce forum.
Niveau terminale s cet exercice porte sur les fonction trigonométriques et la dérivation.
Je met en pièce jointe une photo de l'exercice.
C'est un exercice très complexe
un solide accroché à un ressort peut glisser sans frottements sur une tige horizontale. Lorsque le solide est à l'équilibre son centre d'inertie G se situe à la verticale du point O, origine de l'axe des abscisses (d). L'unité est le mètre.
Le solide est écarté de 10 cm de sa position d'équilibre et abandonnés sans vitesse initiale à l'instant t=0.
On considère la fonction a qui a tout réel t positif associe l'abcisse de G à l'instant t (en secondes).
On admet que a(t)=a0sin(2πt+Ф), où a0 et Ф sont des nombres réels et 0≤Ф≤π.
1)a. Déterminer l'expression de la vitesse a'(t) en fonction de t.
b. Sachant qu'à l'instant t=0, la vitesse est nulle et que le solide a pour abscisse 0,1, déterminer la valeur Ф et celle de a0.
2) Exprimer a(t+1) en fonction de a(t). Que peut-on en déduire?
3)a. Vérifier que, pour tout réel t positif:
a'(t)=0,2πcos(2πt+π/2)
b. Déterminer le signe de a'(t) sur l'intervalle entre crochet 0;0,5, puis l'intervalle 0,5;1. En déduire le tableau de variation de la fonction a sur l'intervalle 0;1
4)a. Tracer la courbe représentative de la fonction de a sur l'intervalle 0;2 en prenant comme unités graphiques: 1cm pour 0,25 en abscisses et 2cm pour 01 en ordonnées.
b. Déterminer à quels instants on a:
a(t)=0 a(t)= -0,1 a(t)= 0,05
Ben question 1a, on te demande de dériver a(t).
Tu as .
Tu dois calculer la dérivée.
Calculer une dérivée se fait depuis la 1ère...
C'est quoi la dérivée de sin(at+b) ?
Citation :
tu peut m'aider stp c'est pour demain et je commence a stresser stp stp
tu peut m'aider stp c'est pour demain et je commence a stresser stp stp
T'aider oui, mais n'attend pas à ce que je te donne la solution toute faite...
J'attends tout de même un effort de réflexion et de travail de ta part...
(Et puis faire ton exercice de maths seulement à la veille de la rentrée, c'est franchement pas malin !! Alors que tu as 2 semaines...
En effet, je peux comprendre ton stress....)
Très bien !!
On avance à présent...
En effet, la dérivée de a(t) est bien :
1b) A l'instant t=0, le solide a pour abscisse 0.1. Donc a0=0.1.
De plus la vitesse a'(t) est nulle. Donc on a : a'(0) = 0.
Ainsi : .
Tu en déduis alors la valeur de .
Tu as la condition de l'énoncé :
Citation :
On admet que a(t)=a0sin(2πt+Ф), où a0 et Ф sont des nombres réels et 0≤Ф≤π.
On admet que a(t)=a0sin(2πt+Ф), où a0 et Ф sont des nombres réels et 0≤Ф≤π.
Donc
Ok.
Donc la question 1b est traitée.
1c) On demande de calculer a(t+1). Donc :
A toi de continuer et terminer le calcul.
Il nous faut maintenant exprimer a(t+1) en fonction de a(t)
a(t+1)= sin (
(t+1)+/2)
= sin (t++/2)
= a(t)
on peut en deduire que c'est une fonction 1 periodique de
Non !
Où est passé le 2 ainsi que ton ?
Tu as :
(car sin(x+2
) = sin(x) )
Ainsi, on peut en effet dire que la fonction a est 1-périodique.
ah oui je viens de comprendre mon erreur vous avez raison lorsque on essaye puis on corrige on comprend beaucoup mieux et plus rapidement.
Cette question est immédiate !!
Tu as trouvé la dérivée a'(t) :
Or a0=0.1 et . Il n'y a plus qu'à remplacer pour trouver le résultat souhaité...
Afin de déterminer le signe de a'(t) sur l'intervalle 0;0,1 nous allons réaliser un tableau de signes:
alors cela me donne :
1
cos t 
2
cos (t)2
3/2cos (t+(/2))5/4
Or, d'après le cercle, on voit que le cosinus est positif ou nul sur [3/2 ; 5/4] donc la fonction est croissante.
Ok pour le 3a.
3b) On cherche le signe de a'(t) sur l'intervalle entre crochet [0;0,5].
On a :
.
On étudie ensuite le signe de sur l'intervalle
.
D'après le cercle trigonométrique, on en déduit alors que sur
.
On en déduit alors que sur [0;0.5], le signe de a'(t) est donc négatif.
Par un raisonnement similaire, on en déduit aussi que sur l'intervalle [0,5;1], le signe de a'(t) est positif.
=> a est donc décroissante sur [0;0.5] puis croissante sur [0.5;1].
pouvez-vous m'expliquez en détaillant svp car j'ai par trop compris pour le second raisonnement.
et pour le tableau de variation de la fonction a vu que c'est négatif la courbe décroit puis après c'est positif elle croit.
4)a. Je sais comment tracer le repère mais pour placer les points je les places comment, autrement combien, et il me faut leurs ordonnes et leurs abscisses.
enfin pour la 4)b. Si j'ai bien compris le graphqie que j'aurai tracer me permettre de faire de la lecture graphique
Pour l'autre raisonnement, cela reste assez similaire :
.
Or d'après le cercle trigo.
Donc on étudie le signe de sur
. Et on constate donc bien sur le cercle trigo que
.
Donc a'(t) est bien positif sur [0.5;1].
4a) Ben tu as quelques points particuliers dont tu peux placer :
A t=0, tu as a0=0.1.
A t=0.25, tu auras a(t)=0
Et à t=0.5, tu auras a0=-0.1.
Puis ça croît jusqu'à t=1.
Et ainsi de suite, puisque a est périodique de période 1.
Vu que tu dois le tracer sur [0;2], tu n'as à tracer que 2 périodes.
Tu devrais obtenir une belle sinusoïde à l'arrivée.
4b) En effet oui, une fois que tu auras tracé correctement ta courbe, tu n'auras qu'à lire graphiquement pour obtenir tes réponses...