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exercice analyse complexe

Posté par
LERAOUL 15-06-18 à 10:35

Salut!
Soit f\in H \left(\Omega\right) \\ où\ D'\left(O,1\right)\subset\Omega \\ \\ \\ Montrer\ que \frac{1}{2\pi i}\int_{\mid z\mid=1}\frac{\bar{f(z)}}{z-a}dz=\begin{cases} \\ \bar{f(0)} & \mid a\mid<1\\ \\ \bar{f(0)}-\bar{f(\frac{1}{a})}si & \mid a\mid>1 \\ \end{cases} \\
svp de l'aide

Posté par
SkyMtnre : exercice analyse complexe 15-06-18 à 12:13

Je reformate ton énoncé histoire d'avoir quelque chose de lisible sous les yeux

Soit f\in H \left(\Omega\right) où D'\left(O,1\right)\subset\Omega.
Montrer que \begin{split}\frac{1}{2\pi i}\oint\nolimits_{\mid z\mid=1}\frac{\bar{f(z)}}{z-a}dz=\begin{cases} \bar{f(0)} & \text{ si } \mid a\mid<1\\ \bar{f(0)}-\bar{f(\frac{1}{a})}& \text{ si } \mid a\mid>1 \end{cases}\end{split}

Posté par
SkyMtnre : exercice analyse complexe 15-06-18 à 14:43

Tu dois savoir que f est holomorphe si, et seulement si \overline{f(\,\overline{\phantom{h}\!\!\!\cdot\!\!\!\phantom{h}}\,)} l'est.
Si t'as un doute tu peux vérifier avec Cauchy-Riemann, ou en revenant à la définition, ou bien (mais c'est sortir l'artillerie lourde ) utiliser le théorème qui affirme que holomorphie = analycité.

En faisant des calculs ça vient tout seul avec la formule de Cauchy... essaies de parvenir à

\begin{split}\frac{1}{2\pi i}\oint_{\vert z\vert =1} \frac{\overline{f(z)}}{z-a}\,dz &= \frac{1}{2\pi i}\oint_{\vert z\vert =1} \frac{\overline{f(\overline{z})}}{z}\,dz - \frac{1}{2\pi i}\oint_{\vert z\vert =1} \frac{\overline{f(\overline{z})}}{z-\frac{1}{a}}\,dz \\ \end{split}

d'ailleurs on trouve bien

\begin{split}\frac{1}{2\pi i}\oint_{\vert z\vert =1} \frac{\overline{f(z)}}{z-a}\,dz &= \begin{cases}\hfil\overline{f(0)}&\text{ si } \vert a\vert <1\\\overline{f(0)} - \overline{f(\tfrac{1}{\overline{a}})}&\text{ si } \vert a\vert >1\end{cases}\end{split} (j'ai oublié de recopier le \bar^^)


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