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euh pardon, je corrige :
Déjà, P est non constant l'idéal qu'il engendre est maximal (car il doit être strict), donc on peut trouve un polynôme unitaire Q de degré 1 qui divise P.
Kaiser
J'ai pas compris l'histoire du P non constant!
Si P est constant, disons , alors
qui est inclus ou égal à
Or m est propre, donc P non constant.
C'est bien ça ?
oui c'est ça : si P est constant non nul, alors l'idéal qu'il engendre c'est , mais comme il est propre, car maximal, ce n'est pas possible.
Kaiser
Comme P est non constant, on a dit qu'il admettait un diviseur unitaire de degré 1 que l'on note Q. Si on note I l'idéal qu'il engendre, alors on a m inclus dans I. Or I est différent de donc ...
Kaiser
donc m n'est pas maximal ?
Non, on a m=I tout simplement car m est maximal (on n'a pas poursuivit le raisonnement de tout à l'heure en supposant que deg(P) > 1)
On a dit que Q est unitaire et de degré 1 donc on a Q=Y-u pour un certain u.
Kaiser
J'ai pas trop compris la démonstration en faite :
on considère un idéal maximal de et on veut montrer qu'il est de la forme
.
Soit donc m cet idéal maximal.
Comme est principal alors
(*)
Soit I un idéal de tel que
.
Pour les mêmes raisons que (*) , .
On peut toujours choisir Q unitaire.
De même on choisit P unitaire et deplus P est non nul (pourquoi?) et P est non constant (Ok).
Donc par l'inclusion on a Q|P, pourquoi Q=P ?
kaiser, si tu peux rep demain (si tu peux), donne moi plutot une indication sur la dernière question stp!
A+
pour ton message de 23h53 :
On n'a pas fait ça dans ce sens : comme P est non constant, on a pris Q comme étant un diviseur de P qui était unitaire et de degré 1.
On a donc l'inclusion voulue et par maximalité de l'idéal engendré par P et comme l'idéal I engendré par Q, c'est pas tout le monde, alors l'idéal engendré par P est le même que celui engendré par Q.
On a donc l'égalité
Ainsi, Q divise P (ça on le savait) et P divise Q donc, P et Q sont égaux à multiplication par un scalaire près? comme ils sont tous les deux unitaire, ils sont égaux.
Kaiser
Pour la dernière : on sait quand même que A est intègre et principal.
De plus, dans A, on sait aussi que .
Kaiser
Je vois à peu près,
il y a une proposition du cours qui dit que si est un homo. d'anneau surjectif, si p est un idéal premier de A contenant Ker(f) alors f(p) est un idéal premier de B.
?
C'est vrai mais comment compte-tu t'en servir ?
Le seul homomorphisme surjectif est la surjection canonique s mais le problème c'est que les idéaux premiers de ne sont pas simples à décrire (car cet anneau n'est pas principal).
Kaiser
ah ben oui, c'est vrai : j'avais pas vu.
dans ce cas c'est encore mieux : on ne va pas utiliser le résultat que tu énonces dans ton message de 19h47.
Puisque est un isomorphisme : Si on prend un idéal premier I de A contenant Ax, alors
est un idéal premier de
contenant
(reste donc à déterminer ce truc-là).
Kaiser
C'est bien ce que l'on cherche, non ? les idéaux premiers de A qui contiennent Ax (question 4)b))
Kaiser
Les propositions de mon cours sont les suivantes :
Soit un idéal premier de
. Alors
est un idéal premier de
.
Supposons que est surjectif.
Soit un idéal premier de
contenant
. Alors
est un idéal
premier de .
on utilise laquelle ??
un peu des deux (voir mon message posté le 24/10/2007 à 00:09. D'ailleurs, es-tu d'accord avec ce message) sauf qu'ici on va avoir mieux qu'un homomorphisme surjectif (il est bijectif).
Kaiser
justement kaiser c'est en essayant de comprendre ce message, que je me suis demandé quelle proposition du cours tu utilise!
le fait qu'il y ait bijection nous donne quoi ?
J'utilise simplement que "certaine choses" sont conservées par isomorphisme ( en l'occurrence les idéaux premiers, maximaux etc ..)
Ici, tu peux le montrer facilement en utilisant finalement la première propriété (ou même sans, ce n'est vraiment pas compliqué : il suffit d'appliquer les définitions)
En effet, si P est un idéal premier de A, alors est un idéal de
car
est surjective.
Réciproquement, si I est un idéal de , alors
est un idéal de A, car
est surjective.
Kaiser
Dans ta première phrase, "En effet, si P ...", je ne comprend pas pour quoi tu termine par "car est surjective" ?
D'après la proposition du cours on a pas besoin de la surjectivité de l'application, non ?
Dans la deuxième phrase, "Réciproquement, si I idéal de ", ne faut-il pas que cet idéal contiennent
??
D'après la proposition du cours on a pas besoin de la surjectivité de l'application, non ?
oui, effectivement, je me suis trompé. j'ai fait un mélange des deux propositions.
Dans la deuxième phrase, "Réciproquement, si I idéal de
non, car l'application étant bijective, le noyau est réduit à 0 et n'importe quel idéal contient 0.
Kaiser
Donc :
1/ Si I est un idéal premier de A, alors est un idéal premier de
2/ Si I est un idéal premier de , alors
est un idéal premier de A, car
est surjective.
cela dit, comme dit plus haut, ce n'est pas difficile à montrer. Il faut donc bien que tu aies en tête pourquoi cette équivalence est vraie (car on a un isomorphisme, et que, en général "tout" se transmet bien par isomorphisme).
Kaiser
En utilisant cette égalité, essaie de déterminer explicitement ce que vaut (commence par déterminer
).
Kaiser
Avant tout, change de notation : y est déjà pris
Ensuite, comme tu dis, il y a un problème dans ce que tu écris :
cette application étant bijective, je te demande de chercher c'est-à-dire l'antécédent de x par
.
Bref, on oublie tout ce que tu as écrit dans ton dernier message.
Kaiser
ce que tu as écris à la fin n'a pas de sens : un ensemble n'est pas égal à un élément ici.
Précise un peu : à droite, il faut un ensemble.
Kaiser
Ah oui c'est vrai, c'est vrai :
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