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Exercice Complet d'Algèbre !
On considère le polynôme à coefficient dans
.
On désigne par P l'idéal de engendré par
, par
l'anneau quotient
et
la surjection canonique de
dans
.
1/ Montrer que pour tout polynôme f de il existe q dans
et r dans
tel que f=pq+r
2/ On note i l'injection canonique de dans
et
.
a/ montrer que est un homomorphisme d'anneau injectif.
b/ montrer que est un isomorphisme d'anneau et en déduire que A est principal
3/ Montrer que P est un idéal premier et non maximal de
4/
a/ Montrer que les idéaux maximaux de sont les idéaux
ou u est un nombre complexe.
b/ On pose et
et l'on identifie
à son image par
dans
.
Montrer que les idéaux premiers de A qui contienntent Ax sont les idéaux ,
et
et j est le nombre complexe
-------
Voila ce que j'ai fais :
1/ C'est la division euclidienne dans ;
p est unitaire dans cet anneau et de degré 1, donc pour tout polynôme f dans , il existe un unique couple
de
tel que
avec
;
donc
r est une constante à coefficient dans
f et q sont dans
2/
a/ C'est la composée de deux homomorphisme d'anneau;
soit dans
;
donc Q est dans
donc
donc
absurde donc Q=0 et le noyau est réduit à 0 d'ou l'injectivité.
b/ Il s'agit de prouver la surjectivité de l'application
s est surjective déjà
mais i aussi (c'est presque l'identité)
donc c'est la composé de deux application surjective, donc est un homomorphisme bijectif : c'est isomorphime et donc
Or est un corps donc
est principal, d'ou A est un anneau principal.
c/ est un corps donc
est intègre d'ou P est un idéal premier.
n'est pas un corps (la j'en suis pas sur!)
donc P est non maximal.
3/ On regarde le quotient ;
J'étudie l'application qui est surjectif, on trouve le bon noyau donc Ok thm de factorisation, ça marche!
4/ La j'ai rien compris !
pour la 4)a):
C[X]/(Y-u).C[X] iso à (C/(Y-u))[X] (cf cours)
or (C/(Y-u))[X] est un corps <=> (C/(Y-u)) corsp donc Y-u maximal.
je comprend pas tes réponses à la 2)a)
2)b)
?
pourquoi i surjectif?
pourquoi Q est dans P inter C[Y] ?
Non il n'y a pas erreur!
Si on la surjection canonique, alors s s'étend en un homomorphisme
(avec une proposition du cours)
Par passage au quotient on a
Je veux juste comprendre pour quoi est un corps !
et bien elle est là l'erreur!!
pour dire que c'est un corps faut que Y-u soit maximal?!
le reste j'ai pigé sauf la 4)b).
non mais ce que j'ai écris c'est FAUX.
pour la simple et bonne raison que pour dire que (C/(Y-u))[X] est un corps il faut que Y-u sot maximal or c'est ce que l'on veut montrer!!!
(pourquoi ce i est surjectif?Pourquoi i(Q)=Q )
Mais i c'est l'injection canonique ! (cf 
L'inclusion canonique)
Mais on a jamais dit que l'injection canonique était surjective? si?
on a juste dit que c'était un MA si A est un sous anneau de B (ce qui est le cas ici (sauf erreur)).
Bon on revient a la définition alors :
soit dans A, est-ce que il existe un Q dans
tel que
?
il existe dans
tel que
(car s surjective)
il existe A,B tel que division euclidienne de la question précédente avec A dans
et B dans
Or
On prend donc et voila!
tu prend en premier l'image par i de P, donc P est dans
puis, i(P)=P, tu prend l'image par s de P que tu suppose nul, donc P est dans (p)
Bonsoir à tous
J'ai du de temps devant moi alors je vais pouvoir vous aider : par contre, il va falloir me dire exactement où ça bloque car je m'y perds un peu.
Kaiser
la deuxième phrase est fausse et la troisième n'a pas de sens (Y-u n'est pas un complexe, donc tu ne peux pas quotienter par Y-u.
Kaiser
mais l'on ne peut pas l'utiliser : ici, I désigne un idéal de A mais dans la question, on quotiente par un par un idéal de .
Tu es conscient que la notation n'a aucun sens ?
Kaiser
Bonsoir 
Désolée de m'incruster, mais Kaiser, pourrais-tu supprimer un topic dans "détente" intitulé "Pb d'étude" ? Merci 
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