bonjour

la question 1 ne doit pas te poser beaucoup de problème... si ?

je dirais que comme exponentielle est toujours positif et que n+1 est également toujours positif alors Un+1 pareil, donc les suites S sont strictement positives?

C'est plus pour les questions suivantes que je galère 😅

les suites S sont strictement positives à partir du rang 1

2 :

Soit N2 tel que u_N 1

montre que la suite décroit à partir du rang N

bon allez, un petit coup de pouce...

puisque la suite est strictement positive à partir du rang N,

montre que u_n+1/u_n < 1 pour tout nN

bon, je ne sais pas si je suis sur la bonne voie mais voila ce que j'ai fait:
Un+1/Un=(exp(Un)/(n+1))/Un = exp(Un)/Un(n+1)
or dans cette question a supposé que pour un rang N>=2 on aurait UN=<1,
et on sait que 0=<exp(UN)=<2,71 (environ)
et que 0=<UN(N+1)=<3
je ne sais cependant pas quoi faire après
je m'excuse d'avance si ce que j'ai fait est faux ou pas très clair...

fais une récurrence proprement !

qui te dit que

u_N(N+1)3

????

et ne confonds pas n et N

et utilise les boutons prévus à cet effet pour mettre les indices et les exposants, sinon c'est illisible

bon je recommence alors!
on suppose que Un+1/Un< 1 et on va montrer que c'est le cas de Un+2< Un+1
on a Un+2=exp(Un+1)/n+1 =exp(e^Un/n+1)/n+1

il vient ensuite Un+2/Un+1= exp(e^Un/n+1)/n+1 / e^Un/n+1
= exp(e^Un/n+1 / e^Un = exp(e^Un/n+1-Un)
=e^Un+1-Un
de cela on peut dire que Un+1-Un est négatif car notre hypothèse de récurrence est Un+1/Un<1 et que la suite est strictement positive
ainsi e^Un+1-Un est compris entre 0 et 1 donc par récurrence un+1/un < 1 pour tout nN

voila j'espère que c'est mieux, cependant pour l'initialisation je ne sais pas quelles terme prendre... UN non?

bon, en attendant j'ai essayer de rédiger une réponse pour la question 3, si vous pouviez me donnez votre avis:
si Un ne converge pas vers 0 alors
n\{1;2} : Un>1
donc n2 : U_n+1>1 (car sinon N=n+1 et (Un) converge)
e^Un>n+1
d'ou e^Un+
donc Un+

je ne comprends strictement rien à tes calculs pour "l'hérédité"...

tu as l'art de compliquer les choses à souhait et le résultat final est faux

et en plus ta récurrence n'est pas initialisée...

à refaire !

commence par montrer que c'est vrai au rang N, ce sera déjà pas mal...

pour la 3 ça me parait correct

pour l'hérédité de la 2 :



...

l'initialisation demande plus de travail...

désolé, j'ai du mal avec la récurrence

je recommence

on a

U_n+2/Un₊₁
= exp(Un+1)/n+2 * n+1/ Exp (Un)
= e^Un+1/e^Un * n+1/n+2
cependant d'apres l'hypothèse de récurrence Un+1/Un<1 donc e^Un+1/e^Un aussi. car e^Un+1/e^Un = e^Un+1-Un et Un+1-Un est compris entre 0 et 1 d'apres l'hypothèse de récurrence
de même, n+1/n+2 est inférieur à 1
on aurait donc bien Un+2/Un+1<1

est-ce mieux?
pour l'initialisation je ne sais vraiment pas comment faire avec N car il faurait montrer que U_N+1/U_N<1
on peut commencer avec U_N+1/U_N= (e^U_N/n+1)/Un mais après je bloque...

c'est mieux mais je ne vois pas pourquoi on aurait Un+1-Un est compris entre 0 et 1 ... ce qui est faux

c'est négatif par HR

va falloir apprendre à rédiger plus rigoureusement pour ce niveau de concours !

pour l'initialisation regarde l'application e^x/x pour x entre 0 et i ... ça peut aider

Oui je me suis trompée, j'y ai repensé après désolé

Pour l'initialisation, que faut il faire ? Tracer le graphe de f(x)=e^x/x ?
Entre 0 et 1 f est décroissante à valeur dans [e;+[ et quand x1 f(x) tend vers + , f est strictement croissante et f(x) strictement positive, mais que faire des ces informations ?
Désolé j'essaie mais je dois dire que je suis un peu perdue

effectivement, je suis allé un peu vite... c'est plus simple que ça !

reprenons depuis le début de la question 2

montre que sous l'hypothèse, alors pour tout nN on a 0<u_n1

cela te permettra d'encadrer uⁿ⁺¹ et de passer à la limite

on a 0<U_n1 car d'apres la question 1   0<U_n et que dans la question 2 on suppose qu'il existe un rang N2 tel que U_n1

on peut donc encader U_n+1:
0<U_n1
e⁰<e^Une
1/n+1 U_n+1 e/n+1 (on a changé le sens de l'inégalité car la fonction inverse est strict décroissante)

sauf erreur de ma part, voila pour l'encadrement.

1 : tu n'a pas démontré ce que je t'ai demandé à 11:34
2 : où vois-tu qu'on applique la fonction inverse ???

à refaire

leawz @ 26-03-2021 à 12:00

U_N1

pour la limite, ici on a supposer nN soit n2
donc Un+1 serait toujours plus petit que 1 si je ne me trompe pas, mais de quoi faut il évaluer la limite U_n+1/Un ?

oublie l'histoire du quotient et lis mes messages !

matheuxmatou @ 26-03-2021 à 11:34

effectivement, je suis allé un peu vite... c'est plus simple que ça !

reprenons depuis le début de la question 2

montre que sous l'hypothèse, alors pour tout nN on a 0<u_n1

et arrête de confondre n et N

pourquoi on doit démontrer que U_N1, puisque dans l'énoncé je crois qu'on suppose qu'il existe un rang N>=2  tel que U_N=<1 ?

mais bon sang, nettoie tes lunettes et lis correctement ce que je te demande !

bon allez j'abandonne... je reviendrai quand tu me feras des démos propres et dans l'ordre !

je m'excuse, mais je ne sais pas forcément comment faire j'essaie juste...

peut être que pour montrer que pour tout nN on a 0<Un1
on peut dire que s'il existe un rang U_N1 (ce que l'on suppose dans la question je crois) alors U_N+1 également
U_N+1=e^U_N/n+1
cependant 0<e^U_Ne  car 0<U_N1
et 3N+1+ car N 2
donc dans tous les cas U_N+1 est plus petit que 1, on aurait de même pour le terme suivant, etc
d'où 0<Un1

pardon si ce n'est pas bien rédiger et clair

tu peux par me faire une rédaction convaincante pour montrer par récurrence que,

sous l'hypothèse N 2 tel que u_N 1

alors

n N , on a u_n 1

?

Mais ce que je ne comprends pas c'est qu'au début vous m'aviez dit de montrer par récurrence que Un+1/Un<1, et je cherchais à faire l'initialisation de cette récurrence avec les informations que vous m'aviez donner et la vous me parler d'une autre récurrence que vous me demandez de démontrer et je comprends même pas le rapport avec la question 2 parce que je ne vois pas comment cela peut nous aider à montrer que dans ce cas (Un) converge vers 0!

salut



1/ (u_n) est positive à partir du rang 1

2/ a/ montrer que la proposition   est héréditaire....(à partir d'un certain rang ... donné dans l'énoncé !!)
      b/ montrer que si P(n) est vraie pour un entier n (supérieur à l'entier trouvé précédemment !!) alors (u_n) tend vers 0 (utiliser le théorème des gendarmes)

3/ si (u_n) ne converge pas vers 0 alors pour tout n (sinon on en revient au cas 2/) donc ...

ah merci je comprends mieux!
alors pour la 2.a j'ai
soit P(n) l'hypothèse de récurrence Un1
on suppose que P(n) est vrai et montrons que P(n+1) l'est aussi.
U_n+11 e^Un/n+1 1
on a 0e^Une d'après l'hypothèse de récurrence car on a supposer que 0Un1
donc pour que e^Unn+1 il faut que n+1e soit n2 car n est entier
donc pour n2, U_n+11
est-ce cela? parce qu'ici j'ai montrer que la propriété P(n) est héréditaire, mais je n'ai pas fait d'initialisation non ?

par contre pour le b du 2 je ne vois pas trop comment faire et par où il faut commencer...

donc tu as montré que pour n >= 2 la propriété P(n) est héréditaire

pour l'initialisation c'est dit dans la question pour montrer que la limite tend vers 0 ...

on suppose donc qu'il existe un entier N tel que P(N) est vraie

alors maintenant on sait que P(n) est vraie pour tout n >= N

maintenant il faut montrer que u_n tend vers 0

je te laisse réfléchir ...

justement, j'y réfléchis depuis tout l'heure etvoilà ce que j'ai fait:
on a 0 Un1
d'ou e⁰ e^Un e
1/n+1 U_n+1 e/n+1
or quand pon fait tendre n vers +, 1/n+1 et e/n+1 tendent tous deux vers 0! donc d'apres le théorème des gendrames U_n+1 0

leawz

qu'est ce que tu ne comprends pas dans le message de 11:34 : reprenons depuis le début pour la question 2 ?

leawz @ 26-03-2021 à 18:47


on a 0 Un1
d'ou e⁰ e^Un e
1/n+1 U_n+1 e/n+1

et 12:07 : oublie cette histoire qu quotient ... l'idée n'était pas bonne

carpediem

pour la 3, il y a déjà répondu correctement

bon bref, admettons que tu aies fait correctement la récurrence  !

personnellement je n'ai vu aucune récurrence correctement rédigée du début à la fin !

donc ensuite oui, on encadre u_n+1 comme tu l'as fait et les théorème des gendarmes nous donc une limite nulle.

fin de l'histoire pour les questions 1-2-3

D'accord, pourriez-vous m'expliquer alors pourquoi ce n'est pas bien rédiger correctement ?car je ne sais pas comment faire différemment pour que ce soit mieux, mais si vous avez des remarques je suis preneuse !

non, pour moi ce n'est pas "propre" !

HR : u_n 1

donc, puisque n+1 N+1 3, on a

u_n+1 = ... e^u_n / (n+1) e / (n+1) e/3 1

là c'est démontré !

(l'inégalité de gauche est une égalité...)

à toi de remettre tout dans l'ordre de façon rigoureuse

matheuxmatou : en fait sa récurrence est convenable !!

elle ne consiste qu'en ses trois dernières lignes !!

leawz @ 26-03-2021 à 18:20


soit P(n) l'hypothèse de récurrence la proposition : Un1
on suppose que P(n) est vraie pour un entier n et montrons que P(n+1) l'est aussi. blabla car on sait que c'est ce qu'on veut !!!
U_n+11 e^Un/n+1 1  blabla car on le sait depuis le début à quoi est égal u_{n + 1}
on a on en déduit que 0 e^Une d'après l'hypothèse de récurrence car on a supposer que 0Un1
donc pour que e^Unn+1 il faut que n+1e soit n2 car n est entier oui car on veut que la propriété soit héréditaire et elle ne le sera qu'à cette condition nécessaire
donc pour n2, U_n+11

J'ai compris, et je vois la différence avec ma « démonstration »!
Je vous mets la suite de l'énoncé:
Ci-dessous on note E₀ L'ensemble des réels x pour lequel la suite U(x) converge vers 0, et E L'ensemble des réels x pour lesquels U(x) diverge vers plus l'infini.

4) démontrer que 0 E₀

5)a. Démontrer, pour tout entier n positif ou nul, que la fonction x U_n(x) est strictement croissante sur

b. En déduire que si x est un élément de E₀, alors l'intervalle ]-, x] est inclus dans E₀

6)a. Démontrer que la fonction x exp(x) -x(x+1) est strictement positif sur l'intervalle [2;+[

b. Soit (Un)_n0 une suite apparemment à S. Démontrer que s'il existe un rang N1 pour lequel U_NN+1, alors (Un) _n0 diverge vers plus l'infini

c. Démontrer que 1 E

7) démontrer que si x est un élément de E, alors l'intervalle [x,+[ est inclus dans E

Voilà, c'est l'avant dernière partie de l'exercice

j'ai juste essayer de faire une réponse pour la 4:
on considère la suite définie par U₀(0)=0 et U_n+1(0)= e^Un(0)/n+1
et a la calculatrice j'ai U₄ 0,91 <1 donc d'apres la question 2 U(0) 0

si u_0 = 0 que vaut u_1 ?