Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Exercice d'analyse complexe

Posté par
tomsoyer 06-03-21 à 22:24

Bonsoir,

Je viens vers vous dans l'espoir d'éclaircir deux incompréhensions concernant un exercice.
Le voici :
$\xi$ étant fixé dans $U:= \mathbb{C} \setminus]-\infty,-1/4]$ , résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $\frac{z}{(1-z)^2}=\xi$ . Prouver qu'en général cette équation a deux solutions distinctes à $(E_{\xi})$ ; on note $g^+(\xi)$ et $g^-(\xi)$ ces solutions.

En définissant l'application racine par $exp(\frac{1}{2} Log(.))$ , où Log est la détermination principale du logarithme, on trouve les solutions :

$g^+(\xi)=\frac{2\xi+1+\sqrt{1+4\xi}}{2\xi}$
et
$g^-(\xi)=\frac{2\xi+1-\sqrt{1+4\xi}}{2\xi}$

Puis on me demande de montrer que $-1 \notin g^-(U\setminus\{0\})$ et que $1\notin g^+(U\setminus\{0\})$ .

Le corrigé dit alors :
Soit $\xi \in U\setminus\{0\}$ . L'inégalité $g^+(\xi)=1$ impose $\sqrt{1+4\xi}=-1$ ce qui est impossible car $\sqrt{.}$ prend ses valeurs dans $\{Re>0\}$ . L'équation $g^-(\xi)=-1$ impose $\sqrt{1+4\xi}=1+4\xi$ et donc $\xi \in \{ -\frac{1}{4},0\}$ puisque 1 et 0 sont les seuls solutions de $z=z^2$ . Comme $\xi \in U\setminus\{0\}$ , ceci n'est pas possible.

L'une de mes interrogations ce trouve sur la partie en rouge. En effet, je ne comprends pas pourquoi cela est impossible. l'application racine est-elle positive ?

De plus, peut-on partir autrement. C'est-à-dire, peut on prendre -1 dans l'équation est vérifier qu'il n'existe aucun $\xi \in U$ rendent -1 possible comme solution de l'équation ? Y a-t-il un possibilité similaire avec 1 ?

Enfin, ceci étant moins important mais permettez-moi de vous le demander, qu'est que $(E_{\xi})$ pour vous ?

Permettez-moi, là encore, de vous remercier grandement de m'avoir lue.

Posté par re : Exercice d'analyse complexe 06-03-21 à 22:57

Dans la continuité de l'exercice, je me questionne sur la chose suivante :

Soit $\xi \in U\setminus\{0\}$ . Supposons que $1 \in \{ \lvert g^-(\xi)\rvert,\lvertg^+(\xi)\rvert \}$ . Alors comme $g^-(\xi)g^+(\xi)=1$
( ce sont les racines du polynôme $\xi X^2-[2\xi+1]X+\xi$ )...

Ainsi, en quoi le fait que $g^-(\xi)$ et $g^+(\xi)$ soit des racines du polynôme nous permet d'affirmer que $g^-(\xi)g^+(\xi)=1$ .

Merci bien

Posté par re : Exercice d'analyse complexe 06-03-21 à 23:19

Pour ton questionnement en rouge, cela se voit en regardant ce que l'on obtient pour un nombre complexe écrit sous forme exponentielle (en calculant explicitement son image par la fonction racine)

Posté par re : Exercice d'analyse complexe 07-03-21 à 00:02

Soit $x \in \{Re>0\}$ et z un logarithme de x.
$\sqrt{x}=exp(\frac{1}{2}Log(e^z))=e^{\frac{1}{2}z}$
Donc,
$\sqrt{x}=-1$ si et seulement si $e^{\frac{1}{2}z}=-1$ si et seulement si
$e^{\frac{1}{2}Re(z)}e^{\frac{1}{2}Im(z)i}=-1$ si et seulement si $e^{\frac{1}{2}Re(z)}=1$ et $\cos({\frac{1}{2}Im(z))+i\sin({\frac{1}{2}Im(z))}=-1$
si et seulement si $Re(z)=0$ et $Im z =0 [2\pi]$ .

Ainsi, heureusement que $x \in \{Re>0\}$ et non pas $x \in \{Re\geq0\}$ pour montrer la partie en rouge.

Posté par re : Exercice d'analyse complexe 07-03-21 à 00:03

Si je ne me fourvoie pas, merci Zrun.

Posté par re : Exercice d'analyse complexe 07-03-21 à 09:39

J'avoue que je ne comprends pas trop ce que tu as essayé de montrer .
La remarque en rouge te dit plutôt que si tu prends un nombre complexe $z \in \mathbb{C}- \mathbb{R}^{-}$ alors $\sqrt{z}$ a une partie réelle strictement positive .
Ce qui se montre en partant de $z=re^{it}$ et en calculant un logarithme de $z$ explicitement

Posté par re : Exercice d'analyse complexe 07-03-21 à 10:29

On revient à la définition :

tomsoyer @ 06-03-2021 à 22:24

En définissant l'application racine par $exp(\frac{1}{2} Log(.))$ , où Log est la détermination principale du logarithme

La détermination principale du logarithme est définie sur le plan complexe privé de la demi-droite des réels négatifs ou nul, et son image est l'ensemble des nombres complexes de partie imaginaire dans $\left]-\pi,\,\pi\right[$ . L'application racine définie ci-dessus est donc définie sur le même ensemble et son image est l'ensemble des nombres complexes de module $>0$ et d'argument dans $\left]-\pi/2,\,\pi/2\right[$ , c.-à-d. le demi-plan des complexes de partie réelle strictement positive.

Posté par re : Exercice d'analyse complexe 07-03-21 à 13:16

Merci bien pour vos réponses.

Je ne connaissais décidément pas bien mes définitions.
Merci d'avoir soulevé ce problème.

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