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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Exercice d'analyse complexe
Posté par tomsoyer
Bonsoir,
Je viens vers vous dans l'espoir d'éclaircir deux incompréhensions concernant un exercice.
Le voici :
étant fixé dans
, résoudre dans
l'équation
. Prouver qu'en général cette équation a deux solutions distinctes à
; on note
et
ces solutions.
En définissant l'application racine par , où Log est la détermination principale du logarithme, on trouve les solutions :
et
Puis on me demande de montrer que et que
.
Le corrigé dit alors :
Soit . L'inégalité
impose
ce qui est impossible car
prend ses valeurs dans
. L'équation
impose
et donc
puisque 1 et 0 sont les seuls solutions de
. Comme
, ceci n'est pas possible.
L'une de mes interrogations ce trouve sur la partie en rouge. En effet, je ne comprends pas pourquoi cela est impossible. l'application racine est-elle positive ?
De plus, peut-on partir autrement. C'est-à-dire, peut on prendre -1 dans l'équation est vérifier qu'il n'existe aucun rendent -1 possible comme solution de l'équation ? Y a-t-il un possibilité similaire avec 1 ?
Enfin, ceci étant moins important mais permettez-moi de vous le demander, qu'est que pour vous ?
Permettez-moi, là encore, de vous remercier grandement de m'avoir lue.
Dans la continuité de l'exercice, je me questionne sur la chose suivante :
Soit . Supposons que
. Alors comme
( ce sont les racines du polynôme )...
Ainsi, en quoi le fait que et
soit des racines du polynôme nous permet d'affirmer que
.
Merci bien
Pour ton questionnement en rouge, cela se voit en regardant ce que l'on obtient pour un nombre complexe écrit sous forme exponentielle (en calculant explicitement son image par la fonction racine)
Soit et z un logarithme de x.
Donc,
si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
et
si et seulement si et
.
Ainsi, heureusement que et non pas
pour montrer la partie en rouge.
J'avoue que je ne comprends pas trop ce que tu as essayé de montrer .
La remarque en rouge te dit plutôt que si tu prends un nombre complexe alors
a une partie réelle strictement positive .
Ce qui se montre en partant de et en calculant un logarithme de
explicitement
On revient à la définition :
tomsoyer @ 06-03-2021 à 22:24
En définissant l'application racine par))
, où Log est la détermination principale du logarithme
En définissant l'application racine par
La détermination principale du logarithme est définie sur le plan complexe privé de la demi-droite des réels négatifs ou nul, et son image est l'ensemble des nombres complexes de partie imaginaire dans