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exercice: fof=f
Salut! Il faut que je trouve toutes les fonctions continues de [0,1] -> [0,1] telles que fof=f. Malheuresement je ne sais pas du tout comment démarrer! Si quelqu'un peut m'aider ce serait sympa!
Merci de ton aide Kaiser!
Il existe y dans [0,1] tel que y=f(x) donc ce même y vérifie f(y)=y
Donc f admet au moins un point fixe.
En fait, on a mieux : on peut identifier l'ensemble des points fixes de f.
D'après ce que tu dis, l'ensemble des points fixes de f c'est exactement l'image de f. Tu vois pourquoi ?
Oui car Im(f) c'est l'ensemble des f(x) c'est à dire des y
Il faut aussi dire qu'un point fixe y vérifie f(y)=y donc il est dans l'image de f (ce que tu disais dans ton dernier message permettait seulement d'affirmer que l'image de f est incluse dans l'ensemble des points fixes de f).
Maintenant une autre question (un peu vague peut-être) : l'image de f, c'est quel genre d'ensemble ?
Kaiser
Il n'est pas nécessairement infini : si f est constante.
Pour fermé, c'est OK mais j'attendais autre chose (faisant intervenir la continuité de f).
Kaiser
Notons ce segment [a,b] avec
Récapitulons ce que l'on a vu :
- pour tout x, f(x) appartient au segment [a,b]
- pour tout x appartenant à [a,b], f(x)=x.
Essaie d'abord de bien visualiser le graphe d'une telle fonction en faisant un dessin.
En fait, il faut voir ce qui se passe en dehors du segment [a,b].
Kaiser
La fonction est à valeur dans [0,1] donc il n'y a pas besoin de prendre un intervalle [a,b] non?
Sinon je vois bien ce qui se passe si x est dans [a,b]: c'est la fonction x -> x , mais sinon je ne vois pas car f peut etre dans tout l'intervalle [a,b]
La fonction est à valeur dans [0,1] donc il n'y a pas besoin de prendre un intervalle [a,b] non?
Si parce que f ne prend pas nécessairement toutes les valeurs entre 0 et 1.
Exemple :
Kaiser
S'il y a les conditions f(0)=0 et f(1)=1, voir : 
Urrgentissime 
: injection surjection bijection
D'accord je vois pourquoi merci Kaiser! Mais je ne vois pas ce qu'il se passe si x n'est pas dans [a,b].
Pour stokastic: il n'y a pas de condition.
En fait, en dehors de [a,b], il peut se passer à peu près n'importe quoi.
La seule condition que l'on impose en dehors de ce segment est que pour tout x, f(x) appartient au segment [a,b] et que f soit continue, bien entendu.
Kaiser
Voici comment on pourrait rédiger :
Pour a et b deux réels compris entre 0 et 1 avec a inférieur ou égal à b, posons l'ensemble des fonctions g définies et continues sur
à valeurs dans le segment [a,b] et vérifiant g(a)=a.
Posons également l'ensemble des fonctions g définies et continues sur
à valeurs dans le segment [a,b] et vérifiant g(b)=b.
alors f, une fonction solution du problème, telle que son image est le segment [a,b] est telle que pour tout x de [a,b], f(x)=x, telle que la restriction de f au segment [0,a] appartienne à et telle que sa restriction à [b,1] appartienne à
.
Kaiser
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