. Exercice. Bienvenue au pays des menteurs...
Monsieur X. est arrivé depuis peu au pays des menteurs et se perd dans les rues de la capitale. Dans les rues, il y a 2/3 de touristes et 1/3 d'autochtones. Monsieur X. veut se rendre à l'université du pays des menteurs. Sur le chemin, il demande aux gens qu'il croise s'il est dans la bonne direction. S'il s'adresse à un touriste, celui-ci lui repondra correctement (par oui/non) 3 fois sur 4. Si par contre, il s'adresse à un menteur, celui-ci lui répondra (par oui/non) toujours le contraire de la réalité. On supposera que toutes les réponses données à la question de Monsieur X. sont indépendantes : même si on pose 2 fois la question à la même personne (cela peut se justifier car les touristes qui viennent au pays des menteurs sont fous...) ils peuvent répondre oui une fois, et non la suivante quand on leur pose 2 fois la même question sans tenir compte de leurs réponses précédentes. On considère les 3 évènements suivants :
— T : "La personne interrogée est un touriste" ;
— D : "la personne interrogée donne la vraie réponse" ;
— Mi : "les i premières réponses d'une même personne sont les mêmes" ;
— Vi : "Les i premières réponses sont vraies"
1. Monsieur X. rencontre quelqu'un sur le chemin et lui demande s'il est dans la bonne direction. Quelle est la probabilité que la réponse du passant soit correcte ? (Représenter les données sous forme d'arbre pour vous aider)
2. Monsieur X. interroge la même personne 2 fois *(indication 1) .
(a) Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée réponde 2 fois la même chose ?
(b) Sachant que la personne a répondu 2 fois la même chose, montrer que la probabilité que la personne rencontrée ait donné 2 fois la bonne réponse et 0,5 .
3. Monsieur X. (qui lui aussi commence à devenir un peu cinglé) interroge la même personne une 3ième fois...
(a) Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée réponde 3 fois la même chose ?
(b) Sachant que la personne a répondu 3 fois la même chose, montrer que la probabilité que la personne rencontrée ait donné 3 fois la bonne réponse et 9/20 .
4. Quand Monsieur X. repose pour la 4ieme fois la même question à cette même personne (ca y est, il a viré parano...) la personne donne une réponse contraire à ses 3 précédentes...
(a) Que peut-on en déduire sur la personne interrogée ? (Un raisonnement simple et clair suffira...)
(b) Sachant que les 3 premières réponses ont été identiques et que la 4ieme soit différente, montrer que la probabilité que la première réponse ait été effectivement la vérité est 9/10 .
*indication 1. pour question 2: Attention, le comportement de la personne ne sera pas le même si cette personne est un touriste ou un menteur : commencer par calculer les probabilités en conditionnant par le type de personne intérogée.