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Niveau Maths sup
Exercice maths produit
Posté par Laura1808
Bonjour, je m'entraîne à faire des exercices de maths mais il y en a un qui m'embête plus que les autres :
Soit n>=2, et P le polynôme sur l'ensemble 
défini par P(z)=(z+1)^(n) -1
1) résoudre dans C, P(z)=0
2) montrer que P s'écrit P(z)=zQ(z) avec Q(z)= le produit de k allant de 1 à n-1 de (z-z indice k) avec z indice k=2i sin (k
/n)e^(i(k/n))
3) Calculer Q(0)
Toutes aides ou toutes pistes sont les bienvenues! Merci d'avance
C est algébriquement clos, donc le polynôme P admet exactement n racines (comptées avec leur multiplicité) dans C. L'une d'elles est évidente : 0
1) Il s'agit de résoudre l'équation en Z (Z étant ici z+1)
Ton cours sur les racines nièmes de l'unité te donne probablement déjà les n solutions possibles
et donc
2) Ton polynôme se factorise sours la forme (z-z0)(z-z1)...(z-zn-1), et z0]=0...
La question revient à montrer que le produit qu'il te reste = le produit des zk données par l'énoncé
3) Prolongement par continuité près d'une singularité isolée d'une application méromorphe (théorème de Riemmann), au dessus de ton niveau
La raison étant que lorsque z->0, P(z)/z te donne la dérivée (au sens complexe donc hors programme) de P en 0 puisque P(0)=0
La question est donc de trouver un moyen de justifier ce passage à la limite de façon propre et au programme (c'est à dire de montrer que la limite ne dépend pas du chemin suivi et que tu peux le faire sur la restriction de P à R)
salut
soit et
évidemment
de plus
P(z) = zQ(z) => P'(z) = Q(z) + zQ'(z) et on en déduit Q(0)
autre méthode :
Merci pour cette aide ... Autre petite question, comment faites vous pour simplifier ceci :
Somme pour k allant de 0 à n de (k parmi n)*z^(k) -1