Bonjour
C'est mal parti: le début de ta réponse c'est

Qu'il est continue en tout point de R^2.

J'ai juste repris la propriété de départ.
On se donne une application f:AR continue, ce qui signifie qu'elle est continue en chaque point de A

Peut être l'ai je mal écrit, j'ai du mal a écrire ce que je pense

Bonjour
A mon avis la démonstration n'est pas compliquée. Mais pour qu'elle ait un sens
il faut que tout soit dit avec  rigueur, cela veut dire que ce qui est écrit  a un sens.

Par exemple la première phrase On devine que tu as  voulu dire que
"f est continue sur A (donc en chaque point )."   Je désigne "P_1 cette assertion"
Ensuite tu en déduis "donc f(A) est un intervalle". Je désigne
Donc ton raisonnement est de la forme "P_1  implique P_2.  

Le problème c'est que ton raisonnement  est faux  car P_2 n'est pas un conséquence de P_2.


Effectivement f(A) sera un intervalle
mais ce n'est pas uniquement une cons

Il faut lire dans mon message précédent :
Ensuite tu en déduis "donc f(A) est un intervalle". Je désigne par P_2 cette assertion.

salut

effectivement ça ne veut pas dire grand chose ...

et inutile de rappeler à chaque instant ce que signifie la proposition f est continue sur l'ensemble A dont tout le monde connait la définition dans le supérieur ...
(éventuellement rappeler la définition de la convexité, pourquoi pas)

soit A un convexe de R^2 et f : A --> R continue

soit h : [0, 1] --> A  :  t --> tb + (1 - t)a

soit F  :  [0, 1] --> R   :  t --> F(t) =f o h (t)


alors ::

a/ h est bien définie !!! c'est-à-dire que j'ai bien définie les ensembles de départ et d'arrivée et que h existe bien ...

b/ f et h sont continues ...

...

Bonsoir et merci de vos réponses.

f et h sont continue donc F est la composée de deux fonctions continues donc elle est continue.

Bonsoir, j'ai poursuivi mon exercice si vous pouvez me dire si cela peut être juste je ne suis pas sure de ma dernière question

dans la question b) on me demandait quelle propriété de f(A) et de f est traduite par le a)

Si une fonction continue sur un intervalle prend deux valeurs m et n alors elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre m et n

2°) Soient I=[a,b] un segment non vide de R et f une fonction de I dans I
a) on note R l'application de T=accolade( (x,y)I²; x inférieur strict a y) définie par R(x,y)=(f(y)-f(x))/(y-x) pour tout (x,y) R. Prouver que R est continue au sens défini dans le 1°)

I=[a,b] et f:II est continue
R(x,y)= (f(y)-f(x))/y-x)
f est continue  sur un segment donc sur tous les points du segment donc pour tout (x,y) I², f est continue en x et y

lim R(x,y) quand yx = f'(x)
Donc R est dérivable et donc continue.

b°) On suppose que f conserve les distances, c'est à dire que pour tout (x,y) I x I,  |f(x)-f(y)|= |x-y| Prouver grâce au 2a et au 1 que f=ID

On a pour tout (x,y) I², |f(x)-f(y)|= |x-y| alors comme f est continue sur un segment on a f(x)=x et f(y)=y
Donc f=Id

C'est un peu n'importe quoi !

Bonjour c'est peut être n'importe quoi mais j'essaye tout de même de faire quelque chose. Je révise seule, je n'ai pas d'enseignant pouvant m'aider alors s'il vous plait aidez moi.

1.
Ton 2 commence par " Soient I=[a,b] un segment non vide de R et f une fonction de I dans I "
Comment veux-tu que l'application  R : (x,y)   (f(x) - f(y))/(x - y) qui part de A := { (x , y) I²│ x < y } soit continue ?
Si tu t'étais relue tu aurais vu que tu as oublié quelque chose concernant f .

2.
"f est continue en x et y  " ne veut rien dire .
Les seules expressions  possibles sont
. f est continue en tel point t de son ensemble de départ  X
.f est continue en  tous les points de Y X .
f est continue    en  tous les points de  X ( qu'on abrévie  en" f est continue" )

3.
Le problème concerne l'éventuelle continuité de R .
Si tu dois rappeller une définition  c'est celle donnée en introduction
Pour ça . tu regardes
  . si A := { (x , y) I²│ x < y }  est une partie convexe de ou de   ²
  .si  ,  pour tout suite  s = (u,v) : A    qui converge vers      (a,b)   A  ,  la suite n , R(u(n) , v(n)) converge vers R(a,b) .

Même si tu révises toute seule , il est indispensable ( pour ne pas faire n'importe quoi ) que tu saches ce qu'il y a à faire pour répondre à ce qui t'es demandé .