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exercice produit scalaire

Posté par
riri06u
12-09-10 à 11:24

bonjour j'ai besoin d'aide sur cette exercice pouvez vous m'aidez svp

Soit un repère orthonormé (O,OI,OJ) et les points A( -1; 3), B(0;3) et C(1;1)

1. calculez OA scalaire OC
2.calculez OA,OB et OC
3.calculez en justifiant,une mesure en radian de aOb puis bOc pour en déduire une mesure de l'angle aOc

4.en déduire que cos(5/12)= -2 + 6/ 4

5.montrer que sin(5/12)=2+6/4

Posté par
Marcel Moderateur
re : exercice produit scalaire 12-09-10 à 21:44

Bonjour,

O (0;0)
A (-1;√3)
B (0;√3)
C (1;1)

vect(OA) (-1;√3)
vect(OB) (0;√3)
vect(OC) (1;1)

1)
vect(OA).vect(OC) = -1*1 + √3*1 = -1+√3

2)
OA² = (-1)²+(√3)² = 4 OA = 2
OB² = 0²+(√3)² = 3 OB = √3
OC² = 1²+1² = 2 OC = √2

3)
vect(OA).vect(OB) = -1*0 + √3*√3 = 3
vect(OA).vect(OB) = OA.OB.cos(AÔB)
cos(AÔB) = vect(OA).vect(OB)/(OA.OB) = 3/(2√3) = (√3)/2
AÔB = -pi/6

vect(OB).vect(OC) = 0*1 + √3*1 = √3
vect(OB).vect(OC) = OB.OC.cos(BÔC) cos(BÔC) = vect(OB).vect(OC)/(OB.OC) = √3/(√3.√2) = √2/2
BÔC = -pi/4

AÔC = AÔB + BÔC = -pi/6 + -pi/4 = -2pi/12 + -3pi/12 = -5pi/12

4)
vect(OA).vect(OC) = OA.OC.cos(AÔC)
cos(AÔC) = vect(OA).vect(OC)/(OA.OC) = (-1+√3)/(2√2) = (√2)(-1+√3)/4 = (-√2+√6)/4
cos(-5pi/12) = (-√2+√6)/4
cos(5pi/12) = cos(-5pi/12) = (-√2+√6)/4

5)
sin²(5pi/12) = 1 - cos²(5pi/12)
= 1 - (-√2+√6)²/16
= 1 - [(-√2+√6)/4]²
= 16/16 - (2+6-2√12)/16
= 16/16 - (8-2√12)/16
= (16-8+2√12)/16
= (8+2√12)/16
= (2+6+2√12)/16
= (√2+√6)²/16
= [(√2+√6)/4]²

sin(5pi/12) = -(√2+√6)/4 ou sin(5pi/12) = (√2+√6)/4
sin(5pi/12) = (√2+√6)/4 (car sin(5pi/12) > 0 puisque 0 < 5pi/12 < pi)



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