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Niveau terminale
Exercice produit scalaire dans l'espace
Posté par elevedets
Bonjour !
je suis entrain de faire un DM... Et j'aimerais avoir un peu d'aide, par rapport à ce que je propose 
Voici le début de l'énoncé :
On donne la propriété suivante :
"par un point de l'espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée"
Sur la figure donnée en annexe, on a représenté le cube ABCDEFGH d'arête 1.
[Voici la disposition des points sur le cube :
EH
FG
AD
BC ]
On a placé :
•les points I et J tels que vecteur BI = 2/3 vecteur BC et vecteur EJ = 2/3 vecteur EH
•Le milieu K de [IJ]
On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).
Partie A :
1)Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F. En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales.
Ce que je propose :
J'utilise Pytahgore pour calculer les longueurs FI et FJ :
•vecteur FI² = vecteur FB² + vecteur BI²
||vecteur FI²|| = ||vecteur FB|| + ||vecteur BI²||
FI² = FB² + BI²
FI² = 1² + (2/3)²
FI² = 1 + (4/9)
FI² = 13/9
FI = 
13/9
FI = 1.2
•vecteur FJ² = vecteur FE² + vecteur EJ²
||vecteur FJ²|| = ||vecteur FE²|| + || vecteur EJ²||
FJ² = FE² + EJ²
FJ² = 1² + (2/3)²
FJ² = 1 + (4/9)
FJ² = 13/9
FJ = 13/9
FJ = 1.2
Les longueurs FI et FJ sont égales, le triangle FIJ est donc isocèle en F.
Dans un triangle isocèle, la hauteur et la médiane sont confondues. K est le milieu de [IJ]. (KF) est donc la médiane est la hauteur du triangle isocèle FIJ.
On en déduit donc que es droites (KF) et (IJ) sont orthogonales.
Est-ce que c'est bon ? Sinon où est-ce que ça ne vas pas ?
Merci d'avance pour votre aide !
Bonjour !
Merci d'avoir vérifié !
Voici la suite de l'énoncé avec ce que je propose :
On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales.
2) Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK).
Ma réponse :
(IJ) est orthogonale à (FK). (IJ) est orthogonale à (GK).
(IJ) est donc orthogonale à deux droites sécantes du plan (FGK). Donc (IJ) est orthogonale au plan (FGK).
Merci d'avance !
Ok merci !
Par contre pour la question 3 qui va suivre, je ne suis pas certaine de ma démonstration ...
3)Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP).
Ma réponse :
(GK) est orthogonale à (IJ), donc (IJ) est orthogonale à (GP), puisque P est le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).
Puisque (IJ) est orthogonale à (GP), alors (FP) est orthogonale à (IJ) [C'est là que je ne suis pas certaine...]
(IJ) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (FGP), donc (IJ) est orthogonale au plan (FGP).
Merci beaucoup de m'aider
Citation :
(GK) est orthogonale à (IJ), donc (IJ) est orthogonale à (GP)
(GK) est orthogonale à (IJ), donc (IJ) est orthogonale à (GP)
-> Ca c'est faux: tu as besoin de dire que (IJ) est orthogonale à tout un plan qui contient (GP) avant de conclure que (IJ) est orthogonale à (GP) : le simple fait qu'elle soit orthogonale à (GK) est insuffisant.
Citation :
Puisque (IJ) est orthogonale à (GP), alors (FP) est orthogonale à (IJ)
Puisque (IJ) est orthogonale à (GP), alors (FP) est orthogonale à (IJ)
-> Idem!
Indication : prouve que (IJ) et (FG) sont orthogonales en te servant des questions précédentes.
Est-ce que je peux dire :
On sait que (IJ) est orthogonale au plan (FGK). Donc (IJ) est orthogonale à (FK), (GK), et donc à (FG).
(IJ) est orthogonale au plan (FIJ). Or le plan (FIJ) contient (FP).
Donc (IJ) est orthogonale à (FP).
(IJ) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (FGP). Cette droite est donc orthogonale au plan (FGP).
Merci d'avance
Citation :
(IJ) est orthogonale au plan (FGK).Donc (IJ) est orthogonale à (FK), (GK), et donc à (FG).
-> Ton dernier "donc" est bizarre: (IJ) est orthogonale à (FG) parce qu'elle l'est à tout le plan (FGK), point barre!(IJ) est orthogonale au plan (FGK).Donc (IJ) est orthogonale à (FK), (GK), et donc à (FG).
Citation :
(IJ) est orthogonale au plan (FIJ)
-> ?? Tu as dû te tromper, cela est impossible! Une droite orthogonale à un plan ne peut pas être contenue dans ce plan!
(IJ) est orthogonale au plan (FIJ)
Je te laisse encore un peu réfléchir à une façon toute simple de justifier que (IJ) et (GP) sont orthogonales.
Voici ce que j'ai fini par trouver :
(IJ) est orthogonale au plan (FGK). Cette droite est donc orthogonale à (FG), puisqu'elle l'est à tout le plan.
(IJ) est orthogonale à (GK). (GK) appartient au plan (GPK). (IJ) est donc orthogonale au plan (GPK). (IJ) étant orthogonale à tout le plan (GPK), cette droite sera orthogonale à (GP).
Donc (IJ) est ortogonale à (FG) et à (GP).
(IJ) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (FGP). Cette droite est donc orthogonale au plan (FGP).
Merci d'avance
Citation :
(IJ) est orthogonale à (GK). (GK) appartient au plan (GPK). (IJ) est donc orthogonale au plan (GPK).
(IJ) est orthogonale à (GK). (GK) appartient au plan (GPK). (IJ) est donc orthogonale au plan (GPK).
-> C'est toujours faux, ça marche dans l'autre sens (dis-toi que qui peut le plus peut le moins! Alors que l'inverse est, en général, faux!
Et si, au lieu de chercher un plan contenant (GP) auquel (IJ) est orthogonal, tu cherchais un plan contenant (IJ) auquel (GP) est orthogonal?Pense aux questions précédentes!
Bonjour !
Je pense que (GP) est orthogonal au plan (FIJ), et donc à (IJ), mais j'ai beau chercher, je ne vois pas comment le démontrer...
Merci beaucoup pour votre aide !
Bonjour !
"On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ)."
Donc P est orthogonal à (IJ), tout comme G. (GP) est donc orthogonal au plan (FIJ)...
???
Merci beaucoup pour ton aide
Citation :
P est orthogonal à (IJ), tout comme G.
P est orthogonal à (IJ), tout comme G.
-> Ca ne veut rien dire, un point orthogonal à un plan!!
Par contre, dire que P est le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ) signifie bien notamment que (GP) est donc orthogonal au plan (FIJ)...par définition même!
Citation :
Ca ne veut rien dire, un point orthogonal à un plan!
Ca ne veut rien dire, un point orthogonal à un plan!
-> Enfin plutôt à une droite en l'occurrence!
Bonjour !
D'accord ...
Je suis maintenant passé à la question 4) :
a)Montrer que les points F,G, K et P sont coplanaires.
Ma réponse :
Quatres points de l'espace sont coplanaires si et seulement si il existe un plan les contenant tous.
(FK) est orthogonale à (IJ). Donc les points F et K appartiennent au plan (FIJ).
P 
au plan (FIJ), puisqu'il est le projeté orthogonal de G sur (FIJ). On en déduit donc que G aussi au plan (FIJ).
Les points F, G, K et P tous au plan (FIJ). Ils sont donc coplanaires.
Merci d'avance !
Bonjour,
Citation :
G appartient aussi au plan (FIJ).
G appartient aussi au plan (FIJ).
-> Tu vois bien que c'est faux! D'ailleurs tu ne donnes aucun argument pour justifier cette affirmation péremptoire!
Utilise plutôt le fait que si une même droite est orthogonale à deux plans, alors ces deux plans sont...?
Bonsoir,
... alors ces deux plans sont orthogonaux ?
mais je ne vois pas en quoi cela peut m'aider pour montrer que F G K et P sont coplanaires...
Peut-tu m'éclairer un peu plus ? Merci d'avance
Bonsoir,
Citation :
... alors ces deux plans sont orthogonaux ?
... alors ces deux plans sont orthogonaux ?
->C'est pas très logique...As-tu essayé de dessiner deux plans orthogonaux à une même droite?
As-tu vraiment l'impression qu'ils soient perpendiculaires?
Je ne vois pas ... Ou alors si je prend (FGK) et (FGP), (IJ) est orthogonale à ces deux plans. Alors (FGK) et (FGP) sont superposable ? Ce qui expliquerait que F, G, K, et P soit coplanaires...
Merci d'avance !
Dessine sur un autre dessin deux plans orthogonaux à une même droite, sans aucune lettre, sans rien. Comment semblent être les deux plans?
Les plans (FGK) et (FGP) sont parallèles ?
Comme ils sont situés l'un au-dessus de l'autre, les points F, G, K et P sont bien coplanaires ?
Citation :
Les plans (FGK) et (FGP) sont parallèles ?
Les plans (FGK) et (FGP) sont parallèles ?
-> Oui!
La suite n'est pas rigoureuse:
Citation :
l'un au-dessus de l'autre
-> ça ne veut rien dire! l'un au-dessus de l'autre
Par contre, ils ont une droite en commun (c'est (FG) )! Et comme ils sont en plus parallèles, c'est qu'ils sont...confondus!
Donc?
Donc s'ils sont confondus, c'est qu'il forment en qq sorte un unique plan qui contient les points F G K et P ...
:)
En question 4b), on me demande :
En déduire que les points F, P et K sont alignés.
Ma réponse :
Nous venons de voir que les plans (FGK) et (FGP) sont confondus. Ayant la droite (FG) en commun, le point P est donc situé sur la droite (FK) : les points F, P, et K sont donc alignés.
Merci d'avance
Bonne soirée !
Ce n'est pas juste :
déjà ils ont plus que la droite (FG) en commun puisqu'ils sont confondus...ensuite je ne vois pas comment tu en déduis que P est sur (FK).
Je te suggère de raisonner par l'absurde en observant que si F,P,K n'étaient pas alignés, alors l'unique plan qui les contiendrait serait (FIJ) - puisque par 3 points non alignés passe un plan et un seul, et qu'il se trouve que le plan (FIJ) passe bien par F,P, et K - .
Or, comme on vient de prouver que G est coplanaire avec F,P, et K, cela entraînerait que...(?), ce qui est faux!
Il est donc impossible que F,P, K ne soient pas alignés!
Bonsoir !
D'accord, j'ai compris :)
Je suis passée à la partie B de cet exercice :
L'espace est rapporté au repère orthonormal (A ; vecteur AB ; vecteur AD, vecteur AE).
On appelle N le point d'intersection de la droite (GP) et du plan (ADB).
On note (x ; y ; 0) les coordonnées du point N.
1) Donner les coordonnées des points F, G, I et J.
Ma réponse :
"Donner" singnifie bien qu'il n'y a pas de calcul à réaliser ? Dans ce cas, on aurait :
F(x;0;z)
G(x;y;z)
I(x;2/3y;0)
J(0;2/3y;z)
Je ne suis vraiment pas certaine de ce que j'ai écrit ...
Merci d'avance pour ton aide !
Bonjour,
je n'ai pas eu le temps de me connecter depuis un certain temps, j'espère qu'il n'est pas trop tard!
Tu dois quand même dire donner la relation vectorielle permettant de conclure, je pense.
Par exemple pour F, il suffit d'écrire que pour en déduire que
De façon générale, pour trouver les coordonnées d'un point (disons G), forme le vecteur allant de l'origine A jusqu'à ce point, puis décompose-le avec Chasles en une somme de vecteurs "parallèles" aux côtés du cube.
Ramène-toi ensuite seulement aux trois vecteurs de base: les coefficients de ces 3 vecteurs seront les coordonnées cherchées.
j'ai eu le même exercice que celui décrit dans ce post.
dans les question qui suivent, 2)a.on nous demande de"montrer que la droite (GN) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).
j'ai dit que le point N appartient à(GP)ce qui signifie que ce qui est vérifié pour (GP) l'est également pour(GN).or
(GP) est orthogonale au plan (FIJ) ce qui par définition signifie que (Gp) est orthogonale à(FI) et à (FJ).
Donc (GN) est également orthogonale à ces deux droite.
on me demande ensuite 2)b. d'exprimer les produit scalaires 
GN .FI et de même avec GNet FJ en fonction de x et y.
Je touve pour GN scalaire FI, 2/3y+1/3
Et pour GN scalaire FJ,-x+2/3y+1/3
enfin et c'est ici que je ne sui pas sur,on me demande de determiner les coordonnées du point N.
J'ai fait un système.je trouve x= 2/3 et y=1/3 les coordonnées du point N sont donc(2/3;1/3;0)
Me suis-je trompée? car je ne suis pas très sur de moi notamment pour le début et le fin de ces questions.