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Niveau terminale
Exercice Révision Produit Scalaire : Ensembles
Posté par Vegeta59
Bonjour à tous
J'ai un exercice de révision à faire sur le produit scalaire, mais je ne sais presque plus rien faire... =/
------------------------------
A et B sont 2 points du plan tels que AB = 6
On désigne par I le milieu de [AB]
1) Soit N un point quelconque du plan. Démontrer que NA.NB = NI² - (AB²/4)
2) Soit E0 l'ensemble des points M du plan tels que MA.MB = 0.
Déterminer et construire E0.
3) Soit Ek l'ensemble des points M du plan tels que MA.MB = k (k 
)
Démontrer que E16 est un cercle de centre I dont on précisera le rayon.
Construire E16.
Soit C un point tel que ABC est un triangle équilatéral. Déterminer k pour que Ek contienne C.
4) Résoudre analytiquement les question 2 et 3 en utilisant le repère (A; i, j) tel que, dans ce repère, B est le point de coordonnées (6 ; 0)
-----------------------------
Voila, merci d'avance ! =)
bonsoir
décompose les vecteurs NA et NB avec la relation de Chasles pour faire apparaître le point I
Ba même en décompensant, je n'arrive pas à trouver le bon résultat...
NA.NB = (NI+IA).(NI+IB) = NI² + NB + NA + IA.IB
Et je n'arrive plus rien faire...
bonsoir
en vecteur
NA.NB = (NI + IA ) ( NI + IB ) = NI² + NI ( IA + IB) + IA.IB
= NI² + NI . 0 + (-1/2 AB) (1/2 AB)
= NI² - 1/4 AB²
Je n'ai pas compris pourquoi IA.IB = (-1/2 AB) (1/2 AB)
On ne peut pas passer d'un produit scalaire à une multiplication comme çà, si ?
=O
bonjour
I est milieu de [AB]
le vecteur IB est égal à 1/2 vecteur AB
le vecteur IA est égal à - 1/2 vecteur AB
on a donc
vecteur NA . vecteur NB = carré scalaire de NI - 1/4 carré scalaire de AB
ensuite carré scalaire de NI = distance NI au carré
Oui mais je ne comprend pas comment vous passez de IA.IB à IA x IB.
Normalement, IA.IB = IA x IB x cos (IA, IB) non ?
bonsoir
on peut effectivement raisonner comme tu le fais :
vect IA . vect IB = IA x IB x cos (IA, IB) .
or (IA,IB) = pi, le cosinus vaut -1
vect IA ; vect IB = - IA x IB (en distance
et IA = IB = 1/2 AB
Merci beaucoup ! =)
Pour la question 2, l'ensemble E0 est le cercle de diamètre [AB], c'est bien çà ?
Par contre je ne sais pas comment faire pour la question 3...
bonsoir
on a bien le cercle de diamètre [AB]
pour 3) utilise la propriété démontrée au 1)
vect(MA) ; vect( MB) = MI² - AB²/4 avec I milieu de [AB]
Je ne vois pas comment passer de cette propriété à celle du cercle...
Je dois poser MI² - AB²/4 = k ?
Enfin, je ne comprend pas le raisonnement... =/
MI² - AB²/4 = 16
MI² = 16 + AB²/4
MI = 4 + AB/2
Et je bloque... Je ne vois pas quel sorte de résultat je dois trouver... =/
MI = 4 + AB/2 = 4 + 3 = 7
Donc E16 est un cercle de centre I et de rayon 7, c'est bien çà ? =D
Par contre pour le triangle équilatéral, je ne comprends de nouveau pas... =/
bonsoir
Pour le début, c'est correct :
MI² - AB²/4 = 16
MI² = 16 + AB²/4
Attention la racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines
MI² = 16 + 6²/4 = 16 + 9 = 25
Mi = 5 On reconnait un cercle de centre I et de rayon 5
C appartient à Ek si vect CA . vect CB = k
il te reste à calculer ce produit scalaire pour trouver k
Et pour calculer k avec CA.CB, il faut utiliser une formule ou faire une décomposition avec Chasles ?
Bonjour,
essaie la formule avec le cosinus, ou le projeté orthogonal, ou avec les distances, tu as le choix
Merci, j'ai trouvé également gràce à la formule avec le cosinus !! =D
Dernière question, la 4, je ne comprend pas trop ce qui est demandé... =/
bonsoir
A(o,o) B (6,o) M ( x,y)
tu calcules les coordonnées du vecteur MA, du vecteur MB, leur produit scalaire....
Je trouve MA (-x ; -y) et MB (6-x ; -y)
Mais maintenant je ne vois pas quoi faire et surtout ce qu'il faut faire (ce que me demande la question ?!?)
Merci d'avance
bonsoir
on te demande de retrouver les résultats par une méthode plus calculatoire :
calcule vect(MA) . vect(MB) = 0 en fonction de x et de y
et essaie de reconnaître une courbe !
J'ai trouvé !
-6x + x² + y² = 0
(x - 3)² + (y - 0)² = 9
Donc cercle de centre I (3,0) et de rayon 3 (donc diamètre 6 = AB)
-----------
Pour la question 3/ a
(x - 3)² + (y - 0)² = 25
Donc cercle de centre I (3,0) et de rayon 5
Pour la question 3/b il faut faire comment par contre ? =/
Pour la question 3)b), j'ai utilisé ce qu'on a démontré à la question et j'ai remplacer sachant que CI² = CA² - IA² (théorême de pythagore) et normalement, à la fin, tu trouves k = 18.
Tu es sûr que c'est comme çà qu'il faut faire ? Enfin, je sais pas, tu n'utilise pas les coordonnées en utilisant cette méthode... =/
Le milieu de [AB] est le point I (3 ; 0)
Donc le point C a pour abscisse 3
Pour calculer son ordonnée il faut les coordonnées de la hauteur, mais il n'y a pas de formule pour la calculer, si ?
AIC rectangle en I
CI² = AC² - AI² = 27
Je ne vois pas comment trouver des coordonnées avec ceci... =/
Bonjour, je trouve bien k = 18 en faisant CA.CB, merci beaucoup =)
Par contre je ne comprend pas pourquoi C (3 ; 3
3)
Comment on peut le prouver ? =/