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Exercice: sommes et complexes

Posté par
Ukemochi 29-10-16 à 13:23

Bonjour!

Je bloque complètement sur un exercice. On travaille sur l'équation suivante, d'inconnue z (z un complexe, p un entier naturel non nul)

(Ep):p}z^kz^p=\sum_{k=0}^{p-1

Après quelques questions assez simples, on me demande de montrer en raisonnant par l'absurde que toute solution de (Ep) est de module inférieur ou égal à 1.
Donc je pars de:
\left | z \right |>1
p\left | z \right |^p>p^p
et \left | pz^p \right |=\sum_{k=0}^{p-1}\left | z^k \right |
Donc \left |\sum_{k=0}^{p-1} z^k \right |>p^p

Et là, je ne voit pas du tout comment arriver à quelque chose d'absurde. J'ai essayé quelques trucs qui n'ont pas abouti.

J'ai essayé de passer à la suite, mais je bloque aussi sur la deuxième partie de l'exercice.
On suppose que (Ep) admet une solution de la forme exp(i\theta)
Il faut montrer que pe^{i\frac{(p+1)\theta }{2}}=\frac{sin\frac{p\theta }{2}}{sin\frac{\theta }{2}}

en déduire une contradiction, et conclure sur le module des solutions de (Ep).

J'ai essayé de travailler de chaque côté de l'égalité, j'arrive à ça:
pe^{i\frac{(p+1)\theta }{2}}=pe^{ip\theta }*e^{\frac{\theta }{2}}= p(e^{ip\frac{\theta }{2}}(e^{\frac{ip\theta }{2}}+e^{\frac{-ip\theta }{2}})

\frac{sin\frac{p\theta }{2}}{sin\frac{\theta }{2}}=\frac{Im(e^{ip\frac{\theta }{2}})}{Im(e^{i\frac{\theta }{2}})}

Et après je ne vois pas.


Pour la contradiction, est-ce que c'est parce que le truc "sinus sur sinus" est un réel? Est-ce que toutes les solutions sont réelles? En quoi est-ce une contradiction avec un module inférieur ou égal à 1?

J'ai cherché longtemps, je n'arrive à rien. Quelqu'un aurait des pistes? Merci d'avance!

Posté par
luzakre : Exercice: sommes et complexes 29-10-16 à 13:24

Bonjour !
Moi je ne vois pas d'équation !
Relis tes messages avant de poster.

Posté par
Ukemochire : Exercice: sommes et complexes 29-10-16 à 13:26

Bonjour, je ne comprends pas, tout s'affiche bien chez moi

Posté par
Ukemochire : Exercice: sommes et complexes 29-10-16 à 13:30

Ah, pardon, je me suis trompée dans le sujet. Je n'arrive pas à éditer mon sujet, c'est normal? La voilà:

(Ep):pz^p=\sum_{k=0}^{p-1}z^k

Posté par
luzakre : Exercice: sommes et complexes 29-10-16 à 13:30

Moi je ne vois que çà :

Citation :

(Ep):p}z^kz^p=\sum_{k=0}^{p-1

Posté par
Ukemochire : Exercice: sommes et complexes 29-10-16 à 13:53

Oui, c'est de ma faute, le z^k est après la somme. Je n'arrive pas à éditer le sujet, c'est impossible sur ce forum, ou je trouve pas le bouton?

Posté par
luzakre : Exercice: sommes et complexes 29-10-16 à 15:32

Non, pas d'édition !
Serait-ce pz^p=\sum_{k=0}^{p-1}z^k ?

Si tu supposes |z|>1 tu auras p|z|^p>p, pas ce que tu as écrit, mais ce n'est pas la solution non plus.

Fais plutôt : |z|>1\implies\forall k\in\{0,1,\dots,p-1\},\;|z|^k<|z|^p puis utilises la propriété de majoration du module d'une somme.

Posté par
Ukemochire : Exercice: sommes et complexes 30-10-16 à 20:53

ça y est, je pense que j'ai réussi, merci beaucoup
J'arrive à
\sum_{k=0}^{p-1}z^k<pz^p et pz^p=\sum_{k=0}^{p-1}z^k, ce qui est absurde.

Par contre, je bloque toujours sur la suite de l'exo Une idée?

Posté par
Ukemochire : Exercice: sommes et complexes 30-10-16 à 21:09

(j'ai oublié les symboles module, enfin voilà c'est l'idée)

Posté par
luzakre : Exercice: sommes et complexes 30-10-16 à 23:03

Sans les modules je ne vois rien d'absurde !

z=1 est une solution qui ne correspond pas au résultat demandé puisque \sin\frac{\theta}2=0 ! Encore un énoncé à corriger ?

Pour z=e^{i\theta}\neq1 :
La somme du second membre est celle des termes d'une suite géométrique et tu dois savoir la calculer.

Après il faut penser à e^{ip\theta}-1=e^{ip\theta/2}\bigl(e^{ip\theta/2}-e^{-ip\theta/2}\bigr)=2ie^{ip\theta/2}\sin(\frac{p\theta}2), idem pour e^{i\theta}-1

Posté par
Ukemochire : Exercice: sommes et complexes 31-10-16 à 09:21

Pas d'erreur d'énoncé cette fois! Il s'agit peut-être de la contradiction que l'on me demande de remarquer

Posté par
luzakre : Exercice: sommes et complexes 31-10-16 à 10:01

Pas d'erreur d'énoncé avec un dénominateur \sin\frac{\theta}2 nul quand \theta\in2\pi\Z !!!

Alors, vas-y : tu devrais trouver la formule demandée à condition que e^{i\theta}\neq1.

Posté par
Ukemochire : Exercice: sommes et complexes 01-11-16 à 10:42

ça y est, j'y suis arrivée. Merci beaucoup pour votre aide!


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