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Niveau terminale
Exercice sur le Produit Scalaire
Posté par 0smose
Bonjour à tous, Voila j'ai un exercice sur le produit scalaire pour jeudi à faire. C'était un de mes points forts l'année dernière, mais en ce début d'année j'ai pas mal de trous de mémoires on va dire.. Merci de m'aider;
Citation :
ABCD est un rectangle indirect de longueur 4cm, de largeur 3 cm et de centre O. Les points H et K sont les projetés orthogonaux des sommets B et C sur la diagonale (AC)
1a)En décomposant judicieusement à l'aide de CHASLES les vecteurs
et 
, calculer .
b) En deduire
.
\vec{OA}[/tex].
2a) En exprimant d'une autre manière le produit scalaire., déterminer cos(.)
b) En déduire la mesure de l'angle géométrique
3) Démontrer que.= 10 x OK. En déduire HK
4a)Démontrer que pour tous point M du plan, MA²-MC²=4
.
b) On note (E) l'ensemble des points M du plan tels que MA²-MC²=-7 . Démontrer que le point D appartient à (E)
c)En utilisant Les questions (4a) et (4b), déterminer l'ensemble E
[/tex]
ABCD est un rectangle indirect de longueur 4cm, de largeur 3 cm et de centre O. Les points H et K sont les projetés orthogonaux des sommets B et C sur la diagonale (AC)
1a)En décomposant judicieusement à l'aide de CHASLES les vecteurs
b) En deduire
2a) En exprimant d'une autre manière le produit scalaire
b) En déduire la mesure de l'angle géométrique
3) Démontrer que
4a)Démontrer que pour tous point M du plan, MA²-MC²=4
b) On note (E) l'ensemble des points M du plan tels que MA²-MC²=-7 . Démontrer que le point D appartient à (E)
c)En utilisant Les questions (4a) et (4b), déterminer l'ensemble E
Voila, merci de bien vouloir m'aider!
(Désolé pour le double post, mais j'ai eu un probleme avec le LAtex)
Bonjour à tous, Voila j'ai un exercice sur le produit scalaire pour jeudi à faire. C'était un de mes points forts l'année dernière, mais en ce début d'année j'ai pas mal de trous de mémoires on va dire.. Merci de m'aider;
Citation :
ABCD est un rectangle indirect de longueur 4cm, de largeur 3 cm et de centre O. Les points H et K sont les projetés orthogonaux des sommets B et C sur la diagonale (AC)
1a)En décomposant judicieusement à l'aide de CHASLES les vecteurs et , calculer .
b) En deduire.
2a) En exprimant d'une autre manière le produit scalaire., déterminer cos(.)
b) En déduire la mesure de l'angle géométrique
3) Démontrer que.= 10 x OK. En déduire HK
4a)Démontrer que pour tous point M du plan, MA²-MC²=4.
b) On note (E) l'ensemble des points M du plan tels que MA²-MC²=-7 . Démontrer que le point D appartient à (E)
c)En utilisant Les questions (4a) et (4b), déterminer l'ensemble E
ABCD est un rectangle indirect de longueur 4cm, de largeur 3 cm et de centre O. Les points H et K sont les projetés orthogonaux des sommets B et C sur la diagonale (AC)
1a)En décomposant judicieusement à l'aide de CHASLES les vecteurs
b) En deduire
2a) En exprimant d'une autre manière le produit scalaire
b) En déduire la mesure de l'angle géométrique
3) Démontrer que
4a)Démontrer que pour tous point M du plan, MA²-MC²=4
b) On note (E) l'ensemble des points M du plan tels que MA²-MC²=-7 . Démontrer que le point D appartient à (E)
c)En utilisant Les questions (4a) et (4b), déterminer l'ensemble E
Voila, merci de bien vouloir m'aider!
Bonjour,
ABCD = rectangle indirect de centre O
AB = 4 cm
BC = 3 cm
H = projeté orthogonal de B sur (AC)
K = projeté orthogonal de D sur (AC)
1a)
vect(CA).vect(BD) = [vect(CB)+vect(BA)].[vect(BC)+vect(CD)]
= vect(CB).vect(BC) + vect(CB).vect(CD) + vect(BA).vect(BC) + vect(BA).vect(CD)
= -vect(BC).vect(BC) + vect(CB).vect(CD) + vect(BA).vect(BC) + vect(BA).vect(BA)
= -BC² + 0 + 0 + BA²
= -BC² + BA²
= -3² + 4²
= -9+16
= 7
1b)
vect(OA).vect(OD) = [(1/2).vect(CA)].[(1/2).vect(BD)] = (1/4).vect(CA).vect(BD) = 7/4
2a)
AC² = BA²+BC² = 4²+3² = 25 = 5² 
AC = 5 OA = AC/2 = 5/2
BD² = AB²+AD² = 4²+3² = 25 = 5² BD = 5 OD = BD/2 = 5/2
vect(OA).vect(OD) = OA.OD.cos(AÔD) = (5/2).(5/2).cos(AÔD) = (25/4).cos(AÔD)
(25/4).cos(AÔD) = 7/4
cos(AÔD) = 7/25
2b)
AÔD = Arccos(7/25) 
73,74°
3)
vect(CA).vect(BD) = [2.vect(CO)].[2.vect(OD)]
= 4.vect(CO).vect(OD)
= 4.vect(CO).[vect(OK)+vect(KD)]
= 4.[vect(CO).vect(OK) + vect(CO).vect(KD)]
= 4.[CO.OK + 0]
= 4.CO.OK
= 4.OA.OK
= 4.(5/2).OK
= 10.OK
10.OK = 7
OK = 0,7
HK = 2.OK = 1,4
4a)
MA²-MC² = [vect(MA)]² - [vect(MC)]²
= [vect(MO)+vect(OA)]² - [vect(MO)+vect(OC)]²
= [vect(MO)+vect(OA)]² - [vect(MO)-vect(AO)]²
= [MO² + OA² + 2.vect(MO).vect(OA)] - [MO² + AO² - 2.vect(MO).vect(AO)]
= MO² + OA² + 2.vect(MO).vect(OA) - MO² - AO² + 2.vect(MO).vect(AO)]
= 4.vect(MO).vect(OA)
= 4.[-vect(OM)].[-vect(AO)]
= 4.vect(OM).vect(AO)
= 4.vect(AO).vect(OM)
4b)
DA²-DC² = 3²-4² = 9-16 = -7
D 
(E)
4c)
M (E) 
MA²-MC² = -7
MA²-MC² = DA²-DC² (d'après la question 4b)
4.vect(AO).vect(OM) = 4.vect(AO).vect(OD) (d'après la question 4a)
-4.vect(AO).vect(OD) + 4.vect(AO).vect(OM) = 0
4.vect(AO).vect(DO) + 4.vect(AO).vect(OM) = 0
4.vect(AO).[vect(DO)+vect(OM)] = 0
4.vect(AO).vect(DM) = 0
vect(AO).vect(DM) = 0
M Droite passant par D et perpendiculaire à (AO)
M (DK)
Donc (E) = (DK)
Ouahou.. Et bien merci je ne m'attendais pas a une réponse aussi complète en si peu de temps... Vraiment merci!. Je vais lire et tenter de le refaire, pour me familiariser avec ce chapitre. En tout cas, un grand merci!