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Exercice sur le produit scalaire

Posté par
tom-tom21
08-10-16 à 18:06

Bonjour,

j'ai un exercice à faire sur le produit scalaire, mais que je n'arrive pas à terminer.

Voici l'énoncé :

A/ Le nombre complexe i (avec i^2 = -1) peut-il être considéré comme une constante ? Justifiez.

B/1. Déterminez les primitives suivantes :

\int_{a}^b e^{ix}\, \mathrm{d}x

\int_{a}^b e^{i\omega*t}\, \mathrm{d}t

\int_{a}^b \omega*e^{i\omega*t}\, \mathrm{d}t

2. On pose :

u(t) = \rho_{1}*e^{i\varphi*t}  

v(t) =  \rho_{2}*e^{-i(\varphi-\frac{\pi}{2})*t}

Déterminez le produit scalaire < u | v >, en utilisant les bornes et Ts au lieu de - et + car, dans la pratique, on cherche à savoir si le produit est nul ou non sur un intervalle déterminé.

Vous devez trouver :

< u | v > = \dfrac{\rho_{1}\rho_{2}}{i(24-\dfrac{\pi}{2})}*\Bigl(e^{i*(24-\frac{\pi}{2})Ts} - 1 \Bigr)

3. Donnez la condition sur \varphi pour que < u | v > = 0.
(On dit que les fonctions u et v sont orthogonales)
Vous montrerez que le produit scalaire converge bien vers 0 pour cette valeur.



Mes réponses/mes idées :

A/ Le nombre complexe i est un imaginaire pur. Il peut être considéré comme une "constante" car ce dernier peut être "sortis" d'une intégrale. (voir questions suivantes)

B/1.

\int_{a}^b e^{ix}\, \mathrm{d}x = [sin(x)]_{a}^b + i[-cos(x)]_{a}^b

\int_{a}^b e^{i\omega*t}\, \mathrm{d}t =\left[\dfrac{sin(\omega*t)}{\omega}\right]_{a}^b + i\left[\dfrac{-cos(\omega*t)}{\omega}\right]_{a}^b

\int_{a}^b \omega*e^{i\omega*t}\, \mathrm{d}t = \omega\left[\left[\dfrac{sin(\omega*t)}{\omega}\right]_{a}^b + i\left[\dfrac{-cos(\omega*t)}{\omega}\right]_{a}^b\right]

2. et 3.

J'ai déjà essayé plusieurs fois d'effectuer le produit scalaire, mais je n'arrive jamais sur le bon résultat...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur le produit scalaire 08-10-16 à 18:13

ce sont des intégrales, pas des primitives
tu peux directement intégrer l'exponentielle eix en (1/i)eix = -ieix à prendre entre a et b. idem pour les autres.
mais c'est juste ce que tu as fait.

oui pour le produit scalaire, prends sa définition et intègre en utilisant les formules que tu as trouvées.

Posté par
tom-tom21
re : Exercice sur le produit scalaire 08-10-16 à 18:49

"Tu peux directement intégrer l'exponentielle eix en (1/i)eix = -ie^(ix)"

Okay, je vois. J'avais pensé à ça en commençant l'exercice, mais je ne savais pas si c'était juste.

Donc, pour le produit scalaire, j'applique la formule suivante :

< u | v> = ||u|| * ||v|| * cos(u;v)

Ici, il me semble que ||u|| = \varphi_{1}    et     ||v|| = \varphi_{2}

Mais le truc, c'est que je ne vois pas ce que vaut cos(u;v) dans notre cas.

Posté par
tom-tom21
re : Exercice sur le produit scalaire 08-10-16 à 18:52

Ah attends !

Ce n'est pas plutôt la formule :

< f | g > = \int_{-\infty}^\infty f(x)*g(x)\, \mathrm{d}x     qu'il faut utiliser ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exercice sur le produit scalaire 08-10-16 à 19:38

ha ben oui on est dans un espace de fonctions il faut un produit scalaire adapté
d'habitude quand le corps est on prend plutôt < f | g > = \int_{-\infty}^\infty f(x)*\bar{g(x)} \, \mathrm{d}x
on ne te l'a défini avant ?

mais < f | g > = \int_{0}^{T_s} f(x)*g(x)  \, \mathrm{d}x en est un aussi

Posté par
tom-tom21
re : Exercice sur le produit scalaire 08-10-16 à 19:51

C'est bon, je viens de réussir.

En utilisant la formule que j'ai proposé plus haut (et celle que tu m'as envoyé dans ton dernier message) j'ai pu retomber sur la valeur attendue comme indiqué dans l'énoncé.

Merci pour ton aide, bonne fin de soirée !

Posté par
carpediem
re : Exercice sur le produit scalaire 08-10-16 à 19:53

salut

Citation :
A/ Le nombre complexe i est un imaginaire pur. Il peut être considéré comme une "constante" car ce dernier peut être "sortis" d'une intégrale. (voir questions suivantes)

déjà la question bof bof ... mais la réponse ...

i est une constante qui vérifie i^2 = -1 comme 2 est une constante qui vérifie 2^2 = 4

c'est ma réponse vu la question ...

c'est plutôt le contraire : il peut être sorti de l'intégrale car c'est une constante !!!


B2/ énoncé probablement incomplet ... qui ne permet pas de justifier l'apparition de 24 dans le résultat ....

Posté par
tom-tom21
re : Exercice sur le produit scalaire 09-10-16 à 10:43

Salut carpediem,

Citation :
B2/ énoncé probablement incomplet ... qui ne permet pas de justifier l'apparition de 24 dans le résultat ....


En effet, le sujet a un problème, mais c'est simplement moi qui ai fais une étourderie lorsque j'ai recopié l'énoncé.
Comme l'énoncé est écrit à la main, j'ai confondu les"4" et les   \varphi grâce à l'écriture de mon prof...

Après correction, le résultat prends tout son sens maintenant, car on arrive bien à trouver ce résultat :

< u | v > = \dfrac{\varphi_{1}\varphi_{2}}{i(2\varphi - \frac{\pi}{2})}*( \Bigl e^{i(2\varphi - \frac{\pi}{2})Ts} - 1 \Bigr)

Citation :
i est une constante qui vérifie i^2 = -1 comme 2 est une constante qui vérifie 2^2 = 4


Et merci pour ton explication !

Posté par
carpediem
re : Exercice sur le produit scalaire 09-10-16 à 11:15

ça semble plus raisonnable .... mais toujours confusion entre les rho et les phi ...  



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