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exercice sur les complexes !

Posté par
maths-rix 06-11-07 à 22:29

bonjour,

pouvez vous m'aider a résoudre cet exercice s'il vous plait ?!

résoudre dans l'équation : 4$(Z+1)^n = (Z-1)^n, donner les solutions sous forme factorisé et le nombre de solutions.

je sais que ça a un rapport avec la racine n-ème de l'unité mais il me pose un problème !

voilà comment j'ai procédé :

4$(Z+1)^n = (Z-1)^n 4$(\frac{Z+1}{Z-1})^n = 1 4$(\frac{Z+1}{Z-1}) = e^{\frac{2ikpi}{n}

et c'est la que je bloque. merci pour l'aide !

Posté par
raymond Correcteurexercice sur les complexes ! 06-11-07 à 22:35

Bonsoir.

Observe que ton équation est de degré n-1 (les zn se réduisent).

En divisant par z - 1 assure toi que 1 n'est pas solution.

La dernière égalité que tu obtiens te permet de calculer z en fonction de :

3$\textrm a_k = e^{\fra{2ik\pi}{n}}.

A plus RR.

Posté par
maths-rixre : exercice sur les complexes ! 06-11-07 à 22:55

merci pour vos précisions !

Donc, 4$(\frac{Z+1}{Z-1}) = e^{\frac{2ikpi}{n}                        4$Z = - \frac{1+e^{\frac{2ikpi}{n}}} {1-e^{\frac{2ikpi}{n}}}

mais est ce que cette expression peut se factoriser encore plus ? comment trouver le nombre de solutions ?

Posté par
gui_toure : exercice sur les complexes ! 06-11-07 à 22:56

Salut

Tu peux mettre en facteur par l'angle moitié

Posté par
maths-rixre : exercice sur les complexes ! 06-11-07 à 23:22

désolé mais je ne vois pas !

Posté par
gui_toure : exercice sur les complexes ! 06-11-07 à 23:24

4$\rm%20{(1+e^{i\theta})}=2.\cos(\frac{\theta}{2}).e^{i\frac{\theta}{2}} \\ \\ {(1-e^{i\theta})}=-2i.\sin(\frac{\theta}{2}).e^{i\frac{\theta}{2}}

Posté par
maths-rixre : exercice sur les complexes ! 06-11-07 à 23:45

donc
4$Z =\frac{2cos(\frac{2kpi}{2n})e^{i\frac{2kpi}{2n}}}{2isin(\frac{2kpi}{2n})e^{i\frac{2kpi}{2n}}}4$Z = \frac{cos(\frac{kpi}{n})e^{i\frac{kpi}{n}}}{isin(\frac{kpi}{n})e^{i\frac{kpi}{n}}} = ???

Posté par
maths-rixre : exercice sur les complexes ! 06-11-07 à 23:48

donc

4$Z = \frac{cos(\frac{kpi}{n})e^{i\frac{kpi}{n}}}{isin(\frac{kpi}{n})e^{i\frac{kpi}{n}}} = \frac{cos(\frac{kpi}{n})}{isin(\frac{kpi}{n})}e^{i\frac{kpi}{n}}

Posté par
gui_toure : exercice sur les complexes ! 06-11-07 à 23:51

Euh pour quoi les exp(ikpi/n) ne se simplifient pas ?

Posté par
maths-rixre : exercice sur les complexes ! 07-11-07 à 00:00

heu...mince il faut enlever le 4$e^{i\frac{kpi}{n}}

sinon ça doit être la forme factorisé non ? et comme 0 < k < n-1 alors on n-1 solutions ?

Posté par
gui_toure : exercice sur les complexes ! 07-11-07 à 00:05

Oui n-1 solutions.

Je pense qu'il n'y a pas de plus simple expression ..

A voir

Posté par
maths-rixre : exercice sur les complexes ! 07-11-07 à 00:08

oui de tout façon je m'arrête ici merci pour l'aide


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